Номер 244, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 244, страница 234.

Учебник.

244. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + x - 1}$, если $x \le 0$;

2) $y = \sqrt{x^2 + 2}$;

3) $y = (\sqrt[4]{x+1})^4$;

4) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$.

Решение 2.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + x - 1$ при условии $x \le 0$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда функция принимает вид: $y = |x| + x - 1$.

Так как по условию $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Подставим это в уравнение функции:

$y = -x + x - 1$

$y = -1$

Таким образом, для всех $x \le 0$ функция принимает постоянное значение $y = -1$. Графиком данной функции является луч, выходящий из точки $(0, -1)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -1$ для $x \in (-\infty, 0]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + 2$.

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$y = |x| + 2$

Это функция модуля, график которой получен сдвигом графика функции $y = |x|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина графика находится в точке $(0, 2)$.

Для построения раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ вправо и вверх.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ влево и вверх.

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции является график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина графика находится в точке $(0, 2)$.

3) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x+1})^4$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1, +\infty)$.

На этой области определения справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$. Следовательно, мы можем упростить функцию:

$y = x + 1$

Графиком функции является часть прямой $y = x + 1$, а именно луч, начинающийся в точке, где $x = -1$.

Найдем координаты начальной точки: при $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x + 1$ с началом в точке $(-1, 0)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$.

Найдем область определения функции. Выражение $(x+1)^4$ всегда неотрицательно, так как находится в четной степени. Поэтому $x$ может быть любым действительным числом.

Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Упростим функцию, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четных $n$:

$y = |x+1|$

Это функция модуля. Ее график можно получить, сдвинув график функции $y = |x|$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.

Для построения раскроем модуль:

• Если $x+1 \ge 0$ (т.е. $x \ge -1$), то $y = x+1$.
• Если $x+1 < 0$ (т.е. $x < -1$), то $y = -(x+1) = -x-1$.

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(-1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.