Номер 241, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 241, страница 234.

241. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9x^8y^{10}}$, если $y \ge 0$;

2) $\sqrt{0,64x^6y^2}$, если $x \le 0, y \ge 0$;

3) $\sqrt[7]{k^7}$;

4) $\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}};

5) $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

6) $2,5x^2 \sqrt[4]{256x^{28}}$, если $x \ge 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt{9x^8y^{10}}$ при условии $y \ge 0$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{9x^8y^{10}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^{10}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
$\sqrt{9} = 3$.
$\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Поскольку степень $4$ четная, выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$.
$\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$. По условию $y \ge 0$, следовательно, $y^5 \ge 0$, и поэтому $|y^5| = y^5$.
Собираем все части вместе: $3 \cdot x^4 \cdot y^5 = 3x^4y^5$.
Ответ: $3x^4y^5$.

2) Упростим выражение $\sqrt{0,64x^6y^2}$ при условии $x \le 0, y \ge 0$.
Разобьем подкоренное выражение на множители: $\sqrt{0,64x^6y^2} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^2}$.
Извлекаем корень из каждого множителя: $\sqrt{0,64} = 0,8$.
$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. По условию $x \le 0$, значит $x^3 \le 0$ (нечетная степень сохраняет знак), поэтому $|x^3| = -x^3$.
$\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y \ge 0$, поэтому $|y| = y$.
Перемножаем полученные результаты: $0,8 \cdot (-x^3) \cdot y = -0,8x^3y$.
Ответ: $-0,8x^3y$.

3) Упростим выражение $\sqrt[7]{k^7}$.
Используем свойство корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального $n$ выполняется $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В данном случае показатель корня $n=7$ является нечетным числом, поэтому $\sqrt[7]{k^7} = k$. Никаких дополнительных условий на переменную $k$ не требуется.
Ответ: $k$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}}$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{c}$.
$\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{p^{24}} \cdot \sqrt[3]{n^{30}}$.
Показатель корня $n=3$ нечетный, поэтому при извлечении корня знак модуля не ставится. Используем свойство $\sqrt[n]{a^{nk}} = a^k$.
$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$.
$\sqrt[3]{p^{24}} = \sqrt[3]{(p^8)^3} = p^8$.
$\sqrt[3]{n^{30}} = \sqrt[3]{(n^{10})^3} = n^{10}$.
Собираем все вместе: $0,2 \cdot p^8 \cdot n^{10} = 0,2p^8n^{10}$.
Ответ: $0,2p^8n^{10}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}}$ при условии $x \ge 0, y \le 0$.
Разобьем подкоренное выражение на множители: $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{x^{20}} \cdot \sqrt[4]{y^{12}} \cdot \sqrt[4]{z^{16}}$.
Показатель корня $n=4$ четный, поэтому используем правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
$\sqrt[4]{x^{20}} = \sqrt[4]{(x^5)^4} = |x^5|$. По условию $x \ge 0$, значит $x^5 \ge 0$, поэтому $|x^5| = x^5$.
$\sqrt[4]{y^{12}} = \sqrt[4]{(y^3)^4} = |y^3|$. По условию $y \le 0$, значит $y^3 \le 0$, поэтому $|y^3| = -y^3$.
$\sqrt[4]{z^{16}} = \sqrt[4]{(z^4)^4} = |z^4|$. Так как $z^4$ всегда неотрицательно, то $|z^4| = z^4$.
Перемножаем полученные результаты: $5 \cdot x^5 \cdot (-y^3) \cdot z^4 = -5x^5y^3z^4$.
Ответ: $-5x^5y^3z^4$.

6) Упростим выражение $2,5x^2 \sqrt[4]{256x^{28}}$ при условии $x \ge 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt[4]{256x^{28}} = \sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{x^{28}}$.
$\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4$.
$\sqrt[4]{x^{28}} = \sqrt[4]{(x^7)^4} = |x^7|$. По условию $x \ge 0$, значит $x^7 \ge 0$, поэтому $|x^7| = x^7$.
Таким образом, $\sqrt[4]{256x^{28}} = 4x^7$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $2,5x^2 \cdot (4x^7) = (2,5 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^7) = 10x^{2+7} = 10x^9$.
Ответ: $10x^9$.