Номер 243, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 243, страница 234.

243. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$;

2) $\sqrt{(1 - \sqrt{7})^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2}$;

4) $\sqrt[8]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^8}$;

5) $\sqrt[4]{(\sqrt{5} - 6)^4}$;

6) $\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3}$;

7) $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2}$;

8) $\sqrt[6]{(5 - 4\sqrt{2})^6} + \sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$ используется свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения. Сравним числа 3 и $\sqrt{3}$. Поскольку $3 = \sqrt{9}$ и $9 > 3$, то $3 > \sqrt{3}$, значит, разность $3 - \sqrt{3}$ положительна. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$. Ответ: $3 - \sqrt{3}$.

2) Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |1 - \sqrt{7}|$. Сравним 1 и $\sqrt{7}$. Так как $1 = \sqrt{1}$ и $1 < 7$, то $1 < \sqrt{7}$. Следовательно, выражение $1 - \sqrt{7}$ отрицательно. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|1 - \sqrt{7}| = -(1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$. Ответ: $\sqrt{7} - 1$.

3) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{10}|$. Поскольку $6 < 10$, то $\sqrt{6} < \sqrt{10}$. Это означает, что разность $\sqrt{6} - \sqrt{10}$ отрицательна. Раскрываем модуль: $|\sqrt{6} - \sqrt{10}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - \sqrt{6}$. Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{6}$.

4) Для корня четной степени (в данном случае 8) справедливо равенство $\sqrt[8]{a^8} = |a|$. Следовательно, $\sqrt[8]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^8} = |\sqrt{3} - \sqrt{5}|$. Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, и разность $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $|\sqrt{3} - \sqrt{5}| = -(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

5) Используем свойство корня четной степени $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Получаем: $\sqrt[4]{(\sqrt{5} - 6)^4} = |\sqrt{5} - 6|$. Сравним $\sqrt{5}$ и 6. Так как $6 = \sqrt{36}$, а $5 < 36$, то $\sqrt{5} < 6$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 6$ отрицательно. Раскрывая модуль, меняем знак: $|\sqrt{5} - 6| = -(\sqrt{5} - 6) = 6 - \sqrt{5}$. Ответ: $6 - \sqrt{5}$.

6) Для корня нечетной степени (в данном случае 3) справедливо равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} = 2 - \sqrt{3}$. Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

7) Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулу $\sqrt{a^2}=|a|$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} = |\sqrt{23} - 7|$. Сравним $\sqrt{23}$ и 7. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $23 < 49$, то $\sqrt{23} < 7$. Значит, $\sqrt{23} - 7 < 0$, и $|\sqrt{23} - 7| = -(\sqrt{23} - 7) = 7 - \sqrt{23}$.
Второе слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2} = |\sqrt{23} - 3|$. Сравним $\sqrt{23}$ и 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $23 > 9$, то $\sqrt{23} > 3$. Значит, $\sqrt{23} - 3 > 0$, и $|\sqrt{23} - 3| = \sqrt{23} - 3$.
Теперь выполним вычитание: $(7 - \sqrt{23}) - (\sqrt{23} - 3) = 7 - \sqrt{23} - \sqrt{23} + 3 = 10 - 2\sqrt{23}$. Ответ: $10 - 2\sqrt{23}$.

8) Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $\sqrt[6]{(5 - 4\sqrt{2})^6}$. Так как корень четной степени, используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Получаем $|5 - 4\sqrt{2}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним 5 и $4\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. Поскольку $25 < 32$, то $5 < 4\sqrt{2}$, и разность $5 - 4\sqrt{2}$ отрицательна. Следовательно, $|5 - 4\sqrt{2}| = -(5 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 5$.
Второе слагаемое: $\sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5}$. Корень нечетной степени, поэтому $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$. Значит, $\sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5} = 5 - 4\sqrt{2}$.
Сложим полученные выражения: $(4\sqrt{2} - 5) + (5 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 5 + 5 = 0$. Ответ: $0$.