Страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

240. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}};$

2) $\sqrt{\sqrt[4]{a}};$

3) $\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}};$

4) $\sqrt[15]{b^{10}};$

5) $\sqrt[6]{a^3 b^9}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. В данном случае показатели корней $n=3$ и $k=6$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[3 \cdot 6]{m} = \sqrt[18]{m}$

Ответ: $\sqrt[18]{m}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[4]{a}}$ используем то же свойство $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. Показатель первого (квадратного) корня равен $n=2$, а показатель второго корня $k=4$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[2 \cdot 4]{a} = \sqrt[8]{a}$

Ответ: $\sqrt[8]{a}$

3) Упростим выражение $\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}}$, применив свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. Здесь показатели корней $n=9$ и $k=5$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[9 \cdot 5]{x} = \sqrt[45]{x}$

Ответ: $\sqrt[45]{x}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{b^{10}}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Также можно представить выражение в виде степени с рациональным показателем.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для показателя корня 15 и показателя степени 10. НОД(15, 10) = 5. Разделим оба показателя на 5:

$\sqrt[15]{b^{10}} = \sqrt[15/5]{b^{10/5}} = \sqrt[3]{b^2}$

Или через рациональные показатели:

$\sqrt[15]{b^{10}} = b^{\frac{10}{15}} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{b^2}$

5) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^3 b^9}$. Можно сократить показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на их наибольший общий делитель.

Найдем НОД для показателей 6, 3 и 9. НОД(6, 3, 9) = 3. Разделим показатель корня и показатели степеней у $a$ и $b$ на 3:

$\sqrt[6]{a^3 b^9} = \sqrt[6/3]{a^{3/3} b^{9/3}} = \sqrt[2]{a^1 b^3} = \sqrt{ab^3}$

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Предполагая, что переменные неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0$):

$\sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = b\sqrt{ab}$

Ответ: $b\sqrt{ab}$

241. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9x^8y^{10}}$, если $y \ge 0$;

2) $\sqrt{0,64x^6y^2}$, если $x \le 0, y \ge 0$;

3) $\sqrt[7]{k^7}$;

4) $\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}};

5) $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

6) $2,5x^2 \sqrt[4]{256x^{28}}$, если $x \ge 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt{9x^8y^{10}}$ при условии $y \ge 0$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{9x^8y^{10}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^{10}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
$\sqrt{9} = 3$.
$\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Поскольку степень $4$ четная, выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$.
$\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$. По условию $y \ge 0$, следовательно, $y^5 \ge 0$, и поэтому $|y^5| = y^5$.
Собираем все части вместе: $3 \cdot x^4 \cdot y^5 = 3x^4y^5$.
Ответ: $3x^4y^5$.

2) Упростим выражение $\sqrt{0,64x^6y^2}$ при условии $x \le 0, y \ge 0$.
Разобьем подкоренное выражение на множители: $\sqrt{0,64x^6y^2} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^2}$.
Извлекаем корень из каждого множителя: $\sqrt{0,64} = 0,8$.
$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. По условию $x \le 0$, значит $x^3 \le 0$ (нечетная степень сохраняет знак), поэтому $|x^3| = -x^3$.
$\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y \ge 0$, поэтому $|y| = y$.
Перемножаем полученные результаты: $0,8 \cdot (-x^3) \cdot y = -0,8x^3y$.
Ответ: $-0,8x^3y$.

3) Упростим выражение $\sqrt[7]{k^7}$.
Используем свойство корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального $n$ выполняется $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В данном случае показатель корня $n=7$ является нечетным числом, поэтому $\sqrt[7]{k^7} = k$. Никаких дополнительных условий на переменную $k$ не требуется.
Ответ: $k$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}}$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{c}$.
$\sqrt[3]{0,008p^{24}n^{30}} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{p^{24}} \cdot \sqrt[3]{n^{30}}$.
Показатель корня $n=3$ нечетный, поэтому при извлечении корня знак модуля не ставится. Используем свойство $\sqrt[n]{a^{nk}} = a^k$.
$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$.
$\sqrt[3]{p^{24}} = \sqrt[3]{(p^8)^3} = p^8$.
$\sqrt[3]{n^{30}} = \sqrt[3]{(n^{10})^3} = n^{10}$.
Собираем все вместе: $0,2 \cdot p^8 \cdot n^{10} = 0,2p^8n^{10}$.
Ответ: $0,2p^8n^{10}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}}$ при условии $x \ge 0, y \le 0$.
Разобьем подкоренное выражение на множители: $\sqrt[4]{625x^{20}y^{12}z^{16}} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{x^{20}} \cdot \sqrt[4]{y^{12}} \cdot \sqrt[4]{z^{16}}$.
Показатель корня $n=4$ четный, поэтому используем правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
$\sqrt[4]{x^{20}} = \sqrt[4]{(x^5)^4} = |x^5|$. По условию $x \ge 0$, значит $x^5 \ge 0$, поэтому $|x^5| = x^5$.
$\sqrt[4]{y^{12}} = \sqrt[4]{(y^3)^4} = |y^3|$. По условию $y \le 0$, значит $y^3 \le 0$, поэтому $|y^3| = -y^3$.
$\sqrt[4]{z^{16}} = \sqrt[4]{(z^4)^4} = |z^4|$. Так как $z^4$ всегда неотрицательно, то $|z^4| = z^4$.
Перемножаем полученные результаты: $5 \cdot x^5 \cdot (-y^3) \cdot z^4 = -5x^5y^3z^4$.
Ответ: $-5x^5y^3z^4$.

6) Упростим выражение $2,5x^2 \sqrt[4]{256x^{28}}$ при условии $x \ge 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt[4]{256x^{28}} = \sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{x^{28}}$.
$\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4$.
$\sqrt[4]{x^{28}} = \sqrt[4]{(x^7)^4} = |x^7|$. По условию $x \ge 0$, значит $x^7 \ge 0$, поэтому $|x^7| = x^7$.
Таким образом, $\sqrt[4]{256x^{28}} = 4x^7$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $2,5x^2 \cdot (4x^7) = (2,5 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^7) = 10x^{2+7} = 10x^9$.
Ответ: $10x^9$.

242. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a-12)^2}$, если $a \ge 12;$

2) $\sqrt{(y+3)^2}$, если $y \le -3;$

3) $(3-a)\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}}$, если $a > 3;$

4) $\sqrt[8]{(b-1)^8}$, если $b \ge 1;$

5) $\sqrt[12]{(7-y)^{12}}$, если $y \le 7;$

6) $(5-b)\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}}$, если $b > 5.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-12)^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, $\sqrt{(a-12)^2} = |a-12|$.
По условию $a \geq 12$, следовательно, выражение под знаком модуля $a-12 \geq 0$.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то $|a-12| = a-12$.
Ответ: $a-12$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(y+3)^2}$, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Получаем $\sqrt{(y+3)^2} = |y+3|$.
По условию $y \leq -3$, что означает $y+3 \leq 0$.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем неположительно, то $|y+3| = -(y+3) = -y-3$.
Ответ: $-y-3$.

3) Рассмотрим выражение $(3-a)\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}}$. Сначала упростим корень:
$\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{(a-3)^2}} = \frac{6}{|a-3|}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(3-a) \cdot \frac{6}{|a-3|}$.
По условию $a > 3$, значит $a-3 > 0$. Следовательно, $|a-3| = a-3$.
Выражение принимает вид: $(3-a) \cdot \frac{6}{a-3}$.
Заметим, что $3-a = -(a-3)$. Подставим это в выражение:
$-(a-3) \cdot \frac{6}{a-3}$.
Так как $a>3$, то $a-3 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-3)$.
В результате получаем $-6$.
Ответ: $-6$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(b-1)^8}$ используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Таким образом, $\sqrt[8]{(b-1)^8} = |b-1|$.
По условию $b \geq 1$, следовательно, $b-1 \geq 0$.
По определению модуля, $|b-1| = b-1$.
Ответ: $b-1$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{(7-y)^{12}}$. Так как степень корня (12) является четным числом, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[12]{(7-y)^{12}} = |7-y|$.
По условию $y \leq 7$, следовательно, выражение под знаком модуля $7-y \geq 0$.
По определению модуля, если выражение под ним неотрицательно, $|7-y| = 7-y$.
Ответ: $7-y$.

6) Рассмотрим выражение $(5-b)\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}}$. Упростим корень:
$\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{(b-5)^6}} = \frac{2}{|b-5|}$, так как $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6}=2$ и корень имеет четную степень 6.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение: $(5-b) \cdot \frac{2}{|b-5|}$.
По условию $b > 5$, значит $b-5 > 0$. Следовательно, $|b-5| = b-5$.
Выражение принимает вид: $(5-b) \cdot \frac{2}{b-5}$.
Так как $5-b = -(b-5)$, получаем: $-(b-5) \cdot \frac{2}{b-5}$.
Поскольку $b>5$, то $b-5 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(b-5)$.
Результат равен $-2$.
Ответ: $-2$.

243. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$;

2) $\sqrt{(1 - \sqrt{7})^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2}$;

4) $\sqrt[8]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^8}$;

5) $\sqrt[4]{(\sqrt{5} - 6)^4}$;

6) $\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3}$;

7) $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2}$;

8) $\sqrt[6]{(5 - 4\sqrt{2})^6} + \sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$ используется свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения. Сравним числа 3 и $\sqrt{3}$. Поскольку $3 = \sqrt{9}$ и $9 > 3$, то $3 > \sqrt{3}$, значит, разность $3 - \sqrt{3}$ положительна. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$. Ответ: $3 - \sqrt{3}$.

2) Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |1 - \sqrt{7}|$. Сравним 1 и $\sqrt{7}$. Так как $1 = \sqrt{1}$ и $1 < 7$, то $1 < \sqrt{7}$. Следовательно, выражение $1 - \sqrt{7}$ отрицательно. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|1 - \sqrt{7}| = -(1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$. Ответ: $\sqrt{7} - 1$.

3) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{10}|$. Поскольку $6 < 10$, то $\sqrt{6} < \sqrt{10}$. Это означает, что разность $\sqrt{6} - \sqrt{10}$ отрицательна. Раскрываем модуль: $|\sqrt{6} - \sqrt{10}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - \sqrt{6}$. Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{6}$.

4) Для корня четной степени (в данном случае 8) справедливо равенство $\sqrt[8]{a^8} = |a|$. Следовательно, $\sqrt[8]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^8} = |\sqrt{3} - \sqrt{5}|$. Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$, и разность $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $|\sqrt{3} - \sqrt{5}| = -(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

5) Используем свойство корня четной степени $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Получаем: $\sqrt[4]{(\sqrt{5} - 6)^4} = |\sqrt{5} - 6|$. Сравним $\sqrt{5}$ и 6. Так как $6 = \sqrt{36}$, а $5 < 36$, то $\sqrt{5} < 6$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 6$ отрицательно. Раскрывая модуль, меняем знак: $|\sqrt{5} - 6| = -(\sqrt{5} - 6) = 6 - \sqrt{5}$. Ответ: $6 - \sqrt{5}$.

6) Для корня нечетной степени (в данном случае 3) справедливо равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} = 2 - \sqrt{3}$. Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

7) Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулу $\sqrt{a^2}=|a|$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} = |\sqrt{23} - 7|$. Сравним $\sqrt{23}$ и 7. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $23 < 49$, то $\sqrt{23} < 7$. Значит, $\sqrt{23} - 7 < 0$, и $|\sqrt{23} - 7| = -(\sqrt{23} - 7) = 7 - \sqrt{23}$.
Второе слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2} = |\sqrt{23} - 3|$. Сравним $\sqrt{23}$ и 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $23 > 9$, то $\sqrt{23} > 3$. Значит, $\sqrt{23} - 3 > 0$, и $|\sqrt{23} - 3| = \sqrt{23} - 3$.
Теперь выполним вычитание: $(7 - \sqrt{23}) - (\sqrt{23} - 3) = 7 - \sqrt{23} - \sqrt{23} + 3 = 10 - 2\sqrt{23}$. Ответ: $10 - 2\sqrt{23}$.

8) Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $\sqrt[6]{(5 - 4\sqrt{2})^6}$. Так как корень четной степени, используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Получаем $|5 - 4\sqrt{2}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним 5 и $4\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. Поскольку $25 < 32$, то $5 < 4\sqrt{2}$, и разность $5 - 4\sqrt{2}$ отрицательна. Следовательно, $|5 - 4\sqrt{2}| = -(5 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 5$.
Второе слагаемое: $\sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5}$. Корень нечетной степени, поэтому $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$. Значит, $\sqrt[5]{(5 - 4\sqrt{2})^5} = 5 - 4\sqrt{2}$.
Сложим полученные выражения: $(4\sqrt{2} - 5) + (5 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 5 + 5 = 0$. Ответ: $0$.

244. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + x - 1}$, если $x \le 0$;

2) $y = \sqrt{x^2 + 2}$;

3) $y = (\sqrt[4]{x+1})^4$;

4) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + x - 1$ при условии $x \le 0$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда функция принимает вид: $y = |x| + x - 1$.

Так как по условию $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Подставим это в уравнение функции:

$y = -x + x - 1$

$y = -1$

Таким образом, для всех $x \le 0$ функция принимает постоянное значение $y = -1$. Графиком данной функции является луч, выходящий из точки $(0, -1)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -1$ для $x \in (-\infty, 0]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + 2$.

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$y = |x| + 2$

Это функция модуля, график которой получен сдвигом графика функции $y = |x|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина графика находится в точке $(0, 2)$.

Для построения раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ вправо и вверх.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ влево и вверх.

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции является график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина графика находится в точке $(0, 2)$.

3) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x+1})^4$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1, +\infty)$.

На этой области определения справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$. Следовательно, мы можем упростить функцию:

$y = x + 1$

Графиком функции является часть прямой $y = x + 1$, а именно луч, начинающийся в точке, где $x = -1$.

Найдем координаты начальной точки: при $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x + 1$ с началом в точке $(-1, 0)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$.

Найдем область определения функции. Выражение $(x+1)^4$ всегда неотрицательно, так как находится в четной степени. Поэтому $x$ может быть любым действительным числом.

Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Упростим функцию, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четных $n$:

$y = |x+1|$

Это функция модуля. Ее график можно получить, сдвинув график функции $y = |x|$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.

Для построения раскроем модуль:

• Если $x+1 \ge 0$ (т.е. $x \ge -1$), то $y = x+1$.
• Если $x+1 < 0$ (т.е. $x < -1$), то $y = -(x+1) = -x-1$.

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(-1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.

245. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{18a^8};$

2) $\sqrt[4]{x^9};$

3) $\sqrt[3]{-m^{10}};$

4) $\sqrt[6]{a^{10}b^9}$, если $a \le 0;$

5) $\sqrt[4]{-81a^{11}};$

6) $\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}}.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{18a^8}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

Разложим число $18$ на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Число $9$ является полным квадратом ($9=3^2$).

Разложим $a^8$: $a^8 = (a^4)^2$. Это также полный квадрат.

Теперь перепишем исходное выражение:

$\sqrt{18a^8} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot (a^4)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{2}$

Извлечем корни:

$\sqrt{9} = 3$

$\sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку показатель степени $4$ четный, выражение $a^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^4| = a^4$.

Собираем все вместе:

$3 \cdot a^4 \cdot \sqrt{2} = 3a^4\sqrt{2}$

Ответ: $3a^4\sqrt{2}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{x^9}$ нужно вынести множитель из-под корня четвертой степени. Область определения выражения: $x^9 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Представим $x^9$ в виде произведения так, чтобы один из множителей был в четвертой степени:

$x^9 = x^8 \cdot x^1 = (x^2)^4 \cdot x$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{x}$

Так как корень четной степени из выражения в такой же степени равен модулю этого выражения, получаем:

$\sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2|$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, $|x^2|=x^2$.

Окончательный результат:

$x^2\sqrt[4]{x}$

Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$

3) В выражении $\sqrt[3]{-m^{10}}$ корень нечетной степени, поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь кубический корень.

$-m^{10} = -1 \cdot m^{10} = -1 \cdot m^9 \cdot m = (-1) \cdot (m^3)^3 \cdot m$

Перепишем выражение и применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{-m^{10}} = \sqrt[3]{(-1) \cdot (m^3)^3 \cdot m} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{(m^3)^3} \cdot \sqrt[3]{m}$

Извлечем корни:

$\sqrt[3]{-1} = -1$

$\sqrt[3]{(m^3)^3} = m^3$ (для нечетных корней модуль не ставится)

Собираем результат:

$-1 \cdot m^3 \cdot \sqrt[3]{m} = -m^3\sqrt[3]{m}$

Ответ: $-m^3\sqrt[3]{m}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^{10}b^9}$ при условии $a \le 0$.

Корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{10}b^9 \ge 0$.

Поскольку $a^{10} = (a^5)^2 \ge 0$ для любого $a$, то для выполнения условия необходимо, чтобы $b^9 \ge 0$, что равносильно $b \ge 0$.

Теперь вынесем множители. Представим степени в виде произведения, выделяя множители со степенью, кратной 6:

$a^{10} = a^6 \cdot a^4$

$b^9 = b^6 \cdot b^3$

Подставим в исходное выражение:

$\sqrt[6]{a^{10}b^9} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot b^3} = \sqrt[6]{a^6 \cdot b^6 \cdot a^4b^3} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{a^4b^3}$

Извлекаем корни, помня, что $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:

$\sqrt[6]{a^6} = |a|$

$\sqrt[6]{b^6} = |b|$

Результат: $|a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a^4b^3}$.

Теперь используем заданные условия: $a \le 0$, следовательно $|a| = -a$. И выведенное нами условие $b \ge 0$, следовательно $|b| = b$.

Подставляем значения модулей:

$(-a) \cdot b \cdot \sqrt[6]{a^4b^3} = -ab\sqrt[6]{a^4b^3}$

Ответ: $-ab\sqrt[6]{a^4b^3}$

5) В выражении $\sqrt[4]{-81a^{11}}$ корень четной степени, значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $-81a^{11} \ge 0$.

Поскольку $-81 < 0$, для выполнения неравенства требуется, чтобы $a^{11} \le 0$, что означает $a \le 0$.

Вынесем множители из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в удобном виде. Учитывая, что $a \le 0$, выражение $-a \ge 0$.

$-81a^{11} = 81 \cdot (-a^{11}) = 81 \cdot a^8 \cdot (-a^3)$. Проверим знак: так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $-a^3 \ge 0$. Выражение корректно.

Разложим на множители:

$81=3^4$

$a^8=(a^2)^4$

Подставим в корень:

$\sqrt[4]{-81a^{11}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-a^3}$

Извлекаем корни:

$\sqrt[4]{3^4}=3$

$\sqrt[4]{(a^2)^4}=|a^2|=a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно)

Собираем результат:

$3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[4]{-a^3} = 3a^2\sqrt[4]{-a^3}$

Ответ: $3a^2\sqrt[4]{-a^3}$

6) В выражении $\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}}$ корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-p^{31}q^{24} \ge 0$.

Множитель $q^{24} = (q^{12})^2$ всегда неотрицателен. Если $q=0$, выражение равно 0. Если $q \ne 0$, то $q^{24}>0$. Тогда для выполнения неравенства необходимо, чтобы $-p^{31} \ge 0$, то есть $p^{31} \le 0$, что означает $p \le 0$.

Разложим подкоренное выражение, выделяя множители со степенью, кратной 10. Учтем, что $p \le 0$, значит $-p \ge 0$.

$-p^{31}q^{24} = (-p) \cdot p^{30} \cdot q^{20} \cdot q^4$. Перегруппируем: $p^{30}q^{20}(-pq^4)$.

Разложим степени:

$p^{30} = (p^3)^{10}$

$q^{20} = (q^2)^{10}$

Подставим в корень:

$\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10} \cdot (q^2)^{10} \cdot (-p)q^4} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}} \cdot \sqrt[10]{(q^2)^{10}} \cdot \sqrt[10]{-pq^4}$

Извлекаем корни:

$\sqrt[10]{(p^3)^{10}} = |p^3|$. Так как $p \le 0$, то $p^3 \le 0$, и $|p^3| = -p^3$.

$\sqrt[10]{(q^2)^{10}} = |q^2|$. Так как $q^2 \ge 0$ для любого $q$, то $|q^2| = q^2$.

Объединяем множители:

$(-p^3) \cdot q^2 \cdot \sqrt[10]{-pq^4} = -p^3q^2\sqrt[10]{-pq^4}$

Ответ: $-p^3q^2\sqrt[10]{-pq^4}$

246. Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные значения):

1) $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}}$;

2) $\sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}}$;

3) $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}}$ необходимо внести множитель $b$, находящийся под внешним корнем, под знак внутреннего корня. Для этого возведем $b$ в степень, равную показателю внутреннего корня, то есть в 5-ю степень. $$ \sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^5 \cdot b^4}} $$ Теперь, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, сложим показатели у переменной $b$ под внутренним корнем: $$ \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^{5+4}}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^9}} $$ Далее применим свойство "корень из корня" $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$, перемножив показатели корней: $$ \sqrt[4 \cdot 5]{b^9} = \sqrt[20]{b^9} $$ Так как по условию переменные принимают неотрицательные значения, это выражение является окончательным.
Ответ: $\sqrt[20]{b^9}$

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}}$. Аналогично предыдущему пункту, внесем множитель $c$ под знак внутреннего корня 7-й степени: $$ \sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}} = \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^7 \cdot c^2}} $$ Сложим показатели степеней под внутренним корнем: $$ \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^{7+2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^9}} $$ Объединим корни, перемножив их показатели: $$ \sqrt[3 \cdot 7]{c^9} = \sqrt[21]{c^9} $$ Теперь можно упростить полученное выражение, сократив показатель корня (21) и показатель степени подкоренного выражения (9) на их наибольший общий делитель, который равен 3: $$ \sqrt[21 \div 3]{c^{9 \div 3}} = \sqrt[7]{c^3} $$
Ответ: $\sqrt[7]{c^3}$

3) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$. Внесем множитель $a^2$ под знак внутреннего корня 5-й степени, для чего возведем $a^2$ в 5-ю степень: $$ \sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(a^2)^5 \cdot a^2}} $$ Используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$, упростим первый множитель под внутренним корнем: $$ \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10} \cdot a^2}} $$ Сложим показатели степеней: $$ \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10+2}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{12}}} $$ Объединим корни: $$ \sqrt[6 \cdot 5]{a^{12}} = \sqrt[30]{a^{12}} $$ Сократим показатель корня (30) и показатель степени (12) на их наибольший общий делитель, который равен 6: $$ \sqrt[30 \div 6]{a^{12 \div 6}} = \sqrt[5]{a^2} $$
Ответ: $\sqrt[5]{a^2}$