Страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

213. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 7 < 3x + 17, \\ 8 - 2x > 14 - 5x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x + 20 \ge x + 5, \\ 2x + 2 \ge 4x - 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4, \\ 6x - 5 \le 13 - x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $6x - 7 < 3x + 17$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 3x < 17 + 7$

$3x < 24$

Разделим обе части на 3:

$x < 8$

Второе неравенство: $8 - 2x > 14 - 5x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-2x + 5x > 14 - 8$

$3x > 6$

Разделим обе части на 3:

$x > 2$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x < 8 \\ x > 2 \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков, то есть $2 < x < 8$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7.

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $6x + 20 \ge x + 5$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - x \ge 5 - 20$

$5x \ge -15$

Разделим обе части на 5:

$x \ge -3$

Второе неравенство: $2x + 2 \ge 4x - 4$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 4x \ge -4 - 2$

$-2x \ge -6$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x \le 3$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 3 \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков, то есть $-3 \le x \le 3$.

Целые решения, принадлежащие этому отрезку: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $5x - 1 > 2x + 4$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 2x > 4 + 1$

$3x > 5$

Разделим обе части на 3:

$x > \frac{5}{3}$

Второе неравенство: $6x - 5 \le 13 - x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x + x \le 13 + 5$

$7x \le 18$

Разделим обе части на 7:

$x \le \frac{18}{7}$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x \le \frac{18}{7} \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков: $\frac{5}{3} < x \le \frac{18}{7}$.

Чтобы найти целые решения, преобразуем дроби в смешанные числа: $1\frac{2}{3} < x \le 2\frac{4}{7}$.

Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 2.

Ответ: 2.

214. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $-2 \le 6x - 3 \le 3$;

2) $-2 \le 2 - 10x \le 4?

1) Для того чтобы найти количество целых решений неравенства, решим его относительно переменной $x$.
Исходное неравенство: $-2 \le 6x - 3 \le 9$.
Сначала прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:
$-2 + 3 \le 6x - 3 + 3 \le 9 + 3$
$1 \le 6x \le 12$
Теперь разделим все части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$\frac{1}{6} \le \frac{6x}{6} \le \frac{12}{6}$
$\frac{1}{6} \le x \le 2$
Мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию. Целые числа, которые больше или равны $\frac{1}{6}$ (приблизительно 0.17) и меньше или равны 2, это 1 и 2.
Всего получается 2 целых решения.
Ответ: 2.

2) Аналогично решим второе неравенство: $-2 \le 2 - 10x \le 4$.
Сначала вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-2 - 2 \le 2 - 10x - 2 \le 4 - 2$
$-4 \le -10x \le 2$
Теперь разделим все части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-4}{-10} \ge \frac{-10x}{-10} \ge \frac{2}{-10}$
$0.4 \ge x \ge -0.2$
Для удобства запишем это неравенство в порядке возрастания:
$-0.2 \le x \le 0.4$
Мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию. Единственное целое число, которое больше или равно -0.2 и меньше или равно 0.4, это 0.
Следовательно, неравенство имеет 1 целое решение.
Ответ: 1.

215. При каких значениях $a$ имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x < a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x \le 6, \\ x \ge a? \end{cases} $

1) Чтобы система неравенств $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x < a \end{cases} $ имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы пересечение множеств решений этих двух неравенств было непустым.
Первое неравенство $x \ge 6$ задает луч $[6, +\infty)$.
Второе неравенство $x < a$ задает луч $(-\infty, a)$.
Решением системы является пересечение этих лучей, то есть интервал $[6, a)$.
Для того чтобы этот интервал не был пустым, его правая граница $a$ должна быть строго больше левой границы 6.
Таким образом, должно выполняться неравенство $a > 6$. Если $a \le 6$, то пересечение множеств пусто, и решений нет.

Ответ: $a > 6$

2) Чтобы система неравенств $ \begin{cases} x \le 6, \\ x \ge a \end{cases} $ имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы пересечение множеств решений этих двух неравенств было непустым.
Первое неравенство $x \le 6$ задает луч $(-\infty, 6]$.
Второе неравенство $x \ge a$ задает луч $[a, +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих лучей, то есть отрезок $[a, 6]$.
Для того чтобы этот отрезок не был пустым (состоял хотя бы из одной точки), его левая граница $a$ должна быть меньше или равна правой границе 6.
Таким образом, должно выполняться неравенство $a \le 6$. Если $a > 6$, то пересечение множеств пусто, и решений нет.

Ответ: $a \le 6$

216. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 1, \\ x \le a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < -4, \\ x > a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < 1, \\ x \le a. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств, то есть $x \in (-\infty, 1) \cap (-\infty, a]$. Результат зависит от взаимного расположения чисел $1$ и $a$ на числовой оси.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 1$, то верхняя граница интервала $(-\infty, a]$ меньше верхней границы интервала $(-\infty, 1)$. Следовательно, пересечением этих двух множеств будет меньший из промежутков, то есть $(-\infty, a]$.

Решение в этом случае: $x \le a$.

2. Если $a \ge 1$, то верхняя граница интервала $(-\infty, a]$ больше или равна верхней границе интервала $(-\infty, 1)$. Пересечением множеств $(-\infty, 1)$ и $(-\infty, a]$ будет промежуток $(-\infty, 1)$.

Решение в этом случае: $x < 1$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a \ge 1$, то $x \in (-\infty, 1)$.

2)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < -4, \\ x > a. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств $x \in (-\infty, -4)$ и $x \in (a, +\infty)$. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые одновременно меньше $-4$ и больше $a$. Такое возможно только если $a < -4$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < -4$, то на числовой оси точка $a$ находится левее точки $-4$. Существуют числа, которые больше $a$ и одновременно меньше $-4$. Эти числа образуют интервал $(a, -4)$.

Решение в этом случае: $a < x < -4$.

2. Если $a \ge -4$, то на числовой оси точка $a$ находится правее точки $-4$ или совпадает с ней. Не существует чисел, которые были бы одновременно меньше $-4$ и больше $a$. Множества $(-\infty, -4)$ и $(a, +\infty)$ не пересекаются.

В этом случае система не имеет решений.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (a, -4)$; если $a \ge -4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

217. При каких значениях $a$ наименьшим целым решением системы неравенств $\begin{cases} x \ge 7, \\ x > a \end{cases}$ является число 10?

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 7, \\ x > a \end{cases} $$ Решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Это пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Решением первого неравенства $x \ge 7$ является числовой промежуток $[7, +\infty)$.

Решением второго неравенства $x > a$ является числовой промежуток $(a, +\infty)$.

Таким образом, решение системы — это пересечение этих двух промежутков: $[7, +\infty) \cap (a, +\infty)$. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения чисел $7$ и $a$.

1. Если $a \le 7$, то любое число, которое больше или равно 7, будет также больше $a$. Следовательно, решением системы будет $x \ge 7$ (если $a < 7$) или $x > 7$ (если $a=7$).

• При $a < 7$ решение системы $x \ge 7$. Наименьшее целое решение — это 7.
• При $a = 7$ решение системы $x > 7$. Наименьшее целое решение — это 8.

Оба этих варианта не удовлетворяют условию задачи, согласно которому наименьшее целое решение должно быть 10.

2. Если $a > 7$, то любое число, которое больше $a$, будет также больше 7. Следовательно, решением системы будет неравенство $x > a$.

По условию, наименьшим целым решением системы является число 10. Это означает, что число 10 должно входить в множество решений, а предыдущее целое число 9 — не должно.

Применим эти условия к нашему решению $x > a$:

• Число 10 является решением: $10 > a$.
• Число 9 не является решением: $9 \ngtr a$, что эквивалентно $9 \le a$.

Мы получили систему условий для параметра $a$: $$ \begin{cases} a < 10, \\ a \ge 9 \end{cases} $$ Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $9 \le a < 10$.

Полученный интервал для $a$ полностью удовлетворяет предположению, сделанному в пункте 2 (то есть $a > 7$).

Ответ: $9 \le a < 10$.

218. При каких значениях $b$ наибольшим целым решением системы неравенств

$$\begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases}$$

является число $-5$?

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Запишем множества решений для каждого неравенства:

1. $x \le b$ соответствует числовому промежутку $(-\infty, b]$.

2. $x < -2$ соответствует числовому промежутку $(-\infty, -2)$.

Решение системы — это пересечение этих промежутков. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения $b$.

Случай 1: $b \ge -2$.

В этом случае точка $b$ находится на числовой оси правее или совпадает с точкой $-2$. Пересечением промежутков $(-\infty, b]$ и $(-\infty, -2)$ будет промежуток $(-\infty, -2)$. Целые числа, принадлежащие этому промежутку: ..., $-5, -4, -3$. Наибольшим целым решением в этом случае является число $-3$. Это не соответствует условию задачи, согласно которому наибольшим целым решением должно быть число $-5$.

Случай 2: $b < -2$.

В этом случае точка $b$ находится на числовой оси левее точки $-2$. Пересечением промежутков $(-\infty, b]$ и $(-\infty, -2)$ будет промежуток $(-\infty, b]$. Таким образом, решение системы неравенств — это $x \le b$.

Нам необходимо, чтобы наибольшим целым решением этого неравенства было число $-5$. Это означает, что:

а) Число $-5$ должно быть решением, то есть должно выполняться условие $-5 \le b$.

б) Следующее за ним целое число, $-4$, не должно быть решением, то есть должно выполняться условие $-4 > b$, или $b < -4$.

Чтобы оба эти условия выполнялись одновременно, значение $b$ должно находиться в следующем промежутке:

Таким образом, при любом значении $b$ из полуинтервала $[-5, -4)$ наибольшим целым решением системы будет число $-5$.

Ответ: $ -5 \le b < -4 $.

219. Решите неравенство:

1) $x^2 - 6x - 7 < 0;$

2) $x^2 + 2x - 48 \ge 0;$

3) $-x^2 + 6x - 5 > 0;$

4) $-x^2 - 4x - 3 < 0;$

5) $3x^2 - 7x + 4 \le 0;$

6) $2x^2 - 3x + 1 > 0;$

7) $4x^2 - 16x \le 0;$

8) $4x^2 - 49 > 0;$

9) $2x^2 - x + 1 > 0;$

10) $3x^2 - 4x + 2 \le 0;$

11) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5;$

12) $\frac{x - 1}{2} - 2x + 3 < \frac{x^2 + 3x}{4}.$

1) Решим неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Для этого вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-1; 7)$.

2) Решим неравенство $x^2 + 2x - 48 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 48$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции больше или равны нулю при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \leq -8$ или $x \geq 6$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [6; \infty)$.

3) Решим неравенство $-x^2 + 6x - 5 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (1; 5)$.

4) Решим неравенство $-x^2 - 4x - 3 < 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = 3$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x + 3$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; \infty)$.

5) Решим неравенство $3x^2 - 7x + 4 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x + 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

6) Решим неравенство $2x^2 - 3x + 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ направлены вверх ($a=2>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < \frac{1}{2}$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; \infty)$.

7) Решим неравенство $4x^2 - 16x \leq 0$.

Разложим левую часть на множители: $4x(x - 4) \leq 0$.

Найдем корни уравнения $4x(x - 4) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 16x$ направлены вверх ($a=4>0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 \leq x \leq 4$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

8) Решим неравенство $4x^2 - 49 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(2x - 7)(2x + 7) > 0$.

Найдем корни уравнения $(2x - 7)(2x + 7) = 0$, откуда $x_1 = -\frac{7}{2}$ и $x_2 = \frac{7}{2}$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 49$ направлены вверх ($a=4>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\frac{7}{2}$ или $x > \frac{7}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; \infty)$.

9) Решим неравенство $2x^2 - x + 1 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - x + 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=2>0$, парабола $y = 2x^2 - x + 1$ полностью лежит выше оси Ox и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что выражение $2x^2 - x + 1$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

10) Решим неравенство $3x^2 - 4x + 2 \leq 0$.

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - 4x + 2 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=3>0$, парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $3x^2 - 4x + 2$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 2 \leq 0$ не имеет решений, так как левая часть никогда не бывает отрицательной или равной нулю.

Ответ: $x \in \emptyset$.

11) Решим неравенство $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \leq 5$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \leq 5$

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \leq 5$

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \leq 5$

$3x^2 + 10x + 8 \leq 5$

$3x^2 + 10x + 3 \leq 0$.

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{-10-8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10+8}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 + 10x + 3$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 \leq x \leq -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-3; -\frac{1}{3}]$.

12) Решим неравенство $\frac{x - 1}{2} - 2x + 3 < \frac{x^2 + 3x}{4}$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{x - 1}{2} - 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 < 4 \cdot \frac{x^2 + 3x}{4}$

$2(x - 1) - 8x + 12 < x^2 + 3x$

$2x - 2 - 8x + 12 < x^2 + 3x$

$-6x + 10 < x^2 + 3x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 + 3x + 6x - 10$

$x^2 + 9x - 10 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$, откуда $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -10$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (1; \infty)$.

220. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $20 + 8x - x^2 > 0;$

2) $4x^2 - 17x + 4 \le 0?$

1) Чтобы найти количество целых решений неравенства $20 + 8x - x^2 > 0$, сначала решим это неравенство. Для удобства умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 20 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 20 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 12}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 12}{2} = 10$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля ( $y < 0$ ) находятся на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства: $x \in (-2; 10)$.
Теперь найдем все целые числа, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Подсчитаем их количество: $9 - (-1) + 1 = 11$.
Ответ: 11.

2) Решим неравенство $4x^2 - 17x + 4 \le 0$. Сначала найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 17x + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 17x + 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю ( $y \le 0$ ) находятся на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства: $x \in [\frac{1}{4}; 4]$.
Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку. Это числа, которые больше или равны $\frac{1}{4}$ (т.е. 0.25) и меньше или равны 4: 1, 2, 3, 4.
Всего таких чисел 4.
Ответ: 4.

221. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $56 - x^2 - x > 0$;

2) $2x^2 - x - 15 < 0$.

1) 56 – x² – x > 0;

Для решения данного квадратного неравенства сначала преобразуем его к стандартному виду. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$-(x^2 + x - 56) > 0$
$x^2 + x - 56 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 56 = 0$.Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-56$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Корни уравнения разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 7)$ и $(7; +\infty)$.Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $x^2 + x - 56 < 0$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 + x - 56$ направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля (отрицательны) находятся между корнями.
Решением неравенства является интервал $(-8; 7)$.

Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Наименьшим из этих целых чисел является -7.

Ответ: -7

2) 2x² – x – 15 < 0.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$.Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a=2$, $b=-1$, $c=-15$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
$x_2 = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Корни уравнения разбивают числовую прямую на интервалы.Графиком функции $y = 2x^2 - x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$).Неравенство $2x^2 - x - 15 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $(-2.5; 3)$.

Найдем наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: -2, -1, 0, 1, 2.
Наименьшее целое решение — это -2.

Ответ: -2

222. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $1.5x^2+2x-2 < 0$;

2) $-2x^2-17x-30 \ge 0.$

1) 1,5x² + 2x - 2 < 0;

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $1,5x^2 + 2x - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичной дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:
$3x^2 + 4x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Графиком функции $y = 1,5x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1,5 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля (y < 0) находятся на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-2; \frac{2}{3})$.

Целыми числами, которые принадлежат этому интервалу, являются -1 и 0.

Наибольшее из этих целых решений равно 0.
Ответ: 0.

2) -2x² - 17x - 30 ≥ 0.

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x^2 + 17x + 30 \leq 0$.

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $2x^2 + 17x + 30 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 289 - 240 = 49$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 - 7}{4} = \frac{-24}{4} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 + 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 17x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($2 > 0$). Следовательно, значения функции меньше или равны нулю (y ≤ 0) находятся на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-6; -2,5]$.

Целыми числами, которые принадлежат этому отрезку, являются -6, -5, -4, -3.

Наибольшее из этих целых решений равно -3.
Ответ: -3.

223. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - ax + 9 = 0;$

2) $x^2 + (a+2)x + 25 = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = B^2 - 4AC$ является отрицательным, то есть $D < 0$.

1) Для уравнения $x^2 - ax + 9 = 0$ коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -a$, $C = 9$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.
Уравнение не будет иметь корней, если $D < 0$:
$a^2 - 36 < 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов:
$(a - 6)(a + 6) < 0$.
Решением данного неравенства является интервал, заключенный между корнями $a_1 = -6$ и $a_2 = 6$.
Следовательно, искомые значения $a$ лежат в промежутке $-6 < a < 6$.
Ответ: $a \in (-6; 6)$.

2) Для уравнения $x^2 + (a+2)x + 25 = 0$ коэффициенты равны: $A = 1$, $B = (a+2)$, $C = 25$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a+2)^2 - 100$.
Уравнение не будет иметь корней, если $D < 0$:
$(a+2)^2 - 100 < 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители как разность квадратов:
$((a+2) - 10)((a+2) + 10) < 0$.
$(a - 8)(a + 12) < 0$.
Решением данного неравенства является интервал, заключенный между корнями $a_1 = -12$ и $a_2 = 8$.
Следовательно, искомые значения $a$ лежат в промежутке $-12 < a < 8$.
Ответ: $a \in (-12; 8)$.

224. При каких значениях b имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 6bx + 8b + 1 = 0$;

2) $2x^2 + 2(b - 4)x + b = 0?$

1) $x^2 - 6bx + 8b + 1 = 0$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Определим его коэффициенты в стандартном виде $ax^2 + Bx + C = 0$:

$a = 1$

$B = -6b$

$C = 8b + 1$

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4aC = (-6b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8b + 1) = 36b^2 - 32b - 4$

Условие наличия двух различных действительных корней: $D > 0$.

$36b^2 - 32b - 4 > 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 4:

$9b^2 - 8b - 1 > 0$

Теперь решим это квадратное неравенство относительно $b$. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $9b^2 - 8b - 1 = 0$.

Дискриминант этого уравнения (назовем его $D_b$):

$D_b = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

$b_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Графиком функции $y = 9b^2 - 8b - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $b^2$ положителен: $9 > 0$). Следовательно, неравенство $9b^2 - 8b - 1 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $b < -\frac{1}{9}$ или $b > 1$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (1; +\infty)$

2) $2x^2 + 2(b - 4)x + b = 0$

Как и в первом пункте, уравнение должно иметь дискриминант $D > 0$, чтобы иметь два различных действительных корня.

Коэффициенты этого квадратного уравнения:

$a = 2$

$B = 2(b - 4)$

$C = b$

Поскольку коэффициент $B$ является четным, удобно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (B/2)^2 - aC$. Условие наличия двух различных корней при этом будет $D/4 > 0$.

$B/2 = b - 4$

$\frac{D}{4} = (b - 4)^2 - 2 \cdot b = (b^2 - 8b + 16) - 2b = b^2 - 10b + 16$

Решим неравенство:

$b^2 - 10b + 16 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 10b + 16 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Отсюда корни $b_1 = 2$ и $b_2 = 8$.

Проверим через дискриминант:

$D_b = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$

$b_1 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$

$b_2 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8$

Графиком функции $y = b^2 - 10b + 16$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $b^2$ положителен: $1 > 0$). Следовательно, неравенство $b^2 - 10b + 16 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $b < 2$ или $b > 8$.

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$