Номер 217, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 217, страница 231.

217. При каких значениях $a$ наименьшим целым решением системы неравенств $\begin{cases} x \ge 7, \\ x > a \end{cases}$ является число 10?

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 7, \\ x > a \end{cases} $$ Решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Это пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Решением первого неравенства $x \ge 7$ является числовой промежуток $[7, +\infty)$.

Решением второго неравенства $x > a$ является числовой промежуток $(a, +\infty)$.

Таким образом, решение системы — это пересечение этих двух промежутков: $[7, +\infty) \cap (a, +\infty)$. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения чисел $7$ и $a$.

1. Если $a \le 7$, то любое число, которое больше или равно 7, будет также больше $a$. Следовательно, решением системы будет $x \ge 7$ (если $a < 7$) или $x > 7$ (если $a=7$).

• При $a < 7$ решение системы $x \ge 7$. Наименьшее целое решение — это 7.
• При $a = 7$ решение системы $x > 7$. Наименьшее целое решение — это 8.

Оба этих варианта не удовлетворяют условию задачи, согласно которому наименьшее целое решение должно быть 10.

2. Если $a > 7$, то любое число, которое больше $a$, будет также больше 7. Следовательно, решением системы будет неравенство $x > a$.

По условию, наименьшим целым решением системы является число 10. Это означает, что число 10 должно входить в множество решений, а предыдущее целое число 9 — не должно.

Применим эти условия к нашему решению $x > a$:

• Число 10 является решением: $10 > a$.
• Число 9 не является решением: $9 \ngtr a$, что эквивалентно $9 \le a$.

Мы получили систему условий для параметра $a$: $$ \begin{cases} a < 10, \\ a \ge 9 \end{cases} $$ Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $9 \le a < 10$.

Полученный интервал для $a$ полностью удовлетворяет предположению, сделанному в пункте 2 (то есть $a > 7$).

Ответ: $9 \le a < 10$.