Номер 223, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 223, страница 231.

223. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - ax + 9 = 0;$

2) $x^2 + (a+2)x + 25 = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = B^2 - 4AC$ является отрицательным, то есть $D < 0$.

1) Для уравнения $x^2 - ax + 9 = 0$ коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -a$, $C = 9$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.
Уравнение не будет иметь корней, если $D < 0$:
$a^2 - 36 < 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов:
$(a - 6)(a + 6) < 0$.
Решением данного неравенства является интервал, заключенный между корнями $a_1 = -6$ и $a_2 = 6$.
Следовательно, искомые значения $a$ лежат в промежутке $-6 < a < 6$.
Ответ: $a \in (-6; 6)$.

2) Для уравнения $x^2 + (a+2)x + 25 = 0$ коэффициенты равны: $A = 1$, $B = (a+2)$, $C = 25$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a+2)^2 - 100$.
Уравнение не будет иметь корней, если $D < 0$:
$(a+2)^2 - 100 < 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители как разность квадратов:
$((a+2) - 10)((a+2) + 10) < 0$.
$(a - 8)(a + 12) < 0$.
Решением данного неравенства является интервал, заключенный между корнями $a_1 = -12$ и $a_2 = 8$.
Следовательно, искомые значения $a$ лежат в промежутке $-12 < a < 8$.
Ответ: $a \in (-12; 8)$.