Номер 227, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 227, страница 232.

227. Решите неравенство:

1) $(x+8)(x-6)(x-12) < 0;$

2) $(2x+5)(4x-3)(x-7) \ge 0;$

3) $(6+x)(x+1)(2-x) < 0;$

4) $(x+8,6)(3-x)(4-x) \ge 0;$

5) $\frac{x-3}{x-8} \ge 0;$

6) $\frac{6-x}{x-4} \ge 0;$

7) $\frac{(x+9)(x+2)}{x-9} \ge 0;$

8) $\frac{x-5}{(x+6)(x-12)} \le 0.$

Для решения данных неравенств используется метод интервалов.

1)

Дано неравенство $(x+8)(x-6)(x-12) < 0$.

1. Находим нули функции $f(x) = (x+8)(x-6)(x-12)$. Для этого решаем уравнение $(x+8)(x-6)(x-12) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$, $x_3 = 12$.

2. Отмечаем эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$, $(6; 12)$ и $(12; +\infty)$.

3. Определяем знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$:

$(13+8)(13-6)(13-12) = 21 \cdot 7 \cdot 1 > 0$. Значит, на интервале $(12; +\infty)$ выражение положительно.

4. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -8) \rightarrow -$, $(-8; 6) \rightarrow +$, $(6; 12) \rightarrow -$, $(12; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы $(-\infty; -8)$ и $(6; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (6; 12)$.

2)

Дано неравенство $(2x+5)(4x-3)(x-7) \ge 0$.

1. Находим нули функции: $2x+5=0 \implies x_1 = -2.5$; $4x-3=0 \implies x_2 = 0.75$; $x-7=0 \implies x_3 = 7$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому точки будут закрашенными.

Интервалы: $(-\infty; -2.5]$, $[-2.5; 0.75]$, $[0.75; 7]$ и $[7; +\infty)$.

3. Определяем знак в крайнем правом интервале, взяв $x=8$: $(2 \cdot 8+5)(4 \cdot 8-3)(8-7) > 0$.

4. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Расставим знаки: $(-\infty; -2.5] \rightarrow -$, $[-2.5; 0.75] \rightarrow +$, $[0.75; 7] \rightarrow -$, $[7; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-2.5; 0.75]$ и $[7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2.5; 0.75] \cup [7; +\infty)$.

3)

Дано неравенство $(6+x)(x+1)(2-x) < 0$.

1. Преобразуем множитель $(2-x)$ к стандартному виду: $(2-x) = -(x-2)$.

Неравенство принимает вид: $(x+6)(x+1)(-(x-2)) < 0$.

$-(x+6)(x+1)(x-2) < 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $(x+6)(x+1)(x-2) > 0$.

2. Нули: $x_1 = -6$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Знак в $(2; +\infty)$ (берем $x=3$): $(3+6)(3+1)(3-2) > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$). Это $(-6; -1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (2; +\infty)$.

4)

Дано неравенство $(x+8.6)(3-x)(4-x) \ge 0$.

1. Преобразуем множители: $(3-x) = -(x-3)$ и $(4-x) = -(x-4)$.

Неравенство: $(x+8.6)(-(x-3))(-(x-4)) \ge 0$.

$(x+8.6)(x-3)(x-4) \ge 0$. Знак не изменился, так как мы умножили на $(-1) \cdot (-1) = 1$.

2. Нули: $x_1 = -8.6$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое.

3. Интервалы: $(-\infty; -8.6]$, $[-8.6; 3]$, $[3; 4]$, $[4; +\infty)$.

4. Знак в $[4; +\infty)$ (берем $x=5$): $(5+8.6)(5-3)(5-4) > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-8.6; 3]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8.6; 3] \cup [4; +\infty)$.

5)

Дано неравенство $\frac{x-3}{x-8} \ge 0$.

1. Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-3=0 \implies x=3$. Нуль знаменателя: $x-8=0 \implies x=8$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Точка $x=3$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=8$ выколотая (на ноль делить нельзя).

3. Интервалы: $(-\infty; 3]$, $[3; 8)$, $(8; +\infty)$.

4. Определяем знак в крайнем правом интервале, взяв $x=9$: $\frac{9-3}{9-8} = 6 > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $(-\infty; 3]$ и $(8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup (8; +\infty)$.

6)

Дано неравенство $\frac{6-x}{x-4} \ge 0$.

1. Преобразуем числитель: $6-x = -(x-6)$. Неравенство: $\frac{-(x-6)}{x-4} \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{x-6}{x-4} \le 0$.

2. Нуль числителя: $x=6$. Нуль знаменателя: $x=4$.

3. Точка $x=6$ закрашенная, точка $x=4$ выколотая.

4. Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6]$, $[6; +\infty)$.

5. Знак в $(4; 6]$ (берем $x=5$): $\frac{5-6}{5-4} = -1 < 0$.

6. Знаки для $\frac{x-6}{x-4}$: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

7. Нам нужно, чтобы $\frac{x-6}{x-4} \le 0$. Это интервал $(4; 6]$.

Ответ: $x \in (4; 6]$.

7)

Дано неравенство $\frac{(x+9)(x+2)}{x-9} \ge 0$.

1. Нули числителя: $x=-9$, $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=9$.

2. Точки $x=-9$ и $x=-2$ закрашенные. Точка $x=9$ выколотая.

3. Интервалы: $(-\infty; -9]$, $[-9; -2]$, $[-2; 9)$, $(9; +\infty)$.

4. Знак в $(9; +\infty)$ (берем $x=10$): $\frac{(10+9)(10+2)}{10-9} > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-9; -2]$ и $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; -2] \cup (9; +\infty)$.

8)

Дано неравенство $\frac{x-5}{(x+6)(x-12)} \le 0$.

1. Нуль числителя: $x=5$. Нули знаменателя: $x=-6$, $x=12$.

2. Точка $x=5$ закрашенная. Точки $x=-6$ и $x=12$ выколотые.

3. Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 5]$, $[5; 12)$, $(12; +\infty)$.

4. Знак в $(12; +\infty)$ (берем $x=13$): $\frac{13-5}{(13+6)(13-12)} > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это $(-\infty; -6)$ и $[5; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [5; 12)$.