Номер 221, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 221, страница 231.

Учебник.

221. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $56 - x^2 - x > 0$;

2) $2x^2 - x - 15 < 0$.

Решение 2.

1) 56 – x² – x > 0;

Для решения данного квадратного неравенства сначала преобразуем его к стандартному виду. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$-(x^2 + x - 56) > 0$
$x^2 + x - 56 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 56 = 0$.Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-56$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Корни уравнения разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 7)$ и $(7; +\infty)$.Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $x^2 + x - 56 < 0$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 + x - 56$ направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля (отрицательны) находятся между корнями.
Решением неравенства является интервал $(-8; 7)$.

Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Наименьшим из этих целых чисел является -7.

Ответ: -7

2) 2x² – x – 15 < 0.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$.Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a=2$, $b=-1$, $c=-15$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
$x_2 = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Корни уравнения разбивают числовую прямую на интервалы.Графиком функции $y = 2x^2 - x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$).Неравенство $2x^2 - x - 15 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $(-2.5; 3)$.

Найдем наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в этот интервал: -2, -1, 0, 1, 2.
Наименьшее целое решение — это -2.

Ответ: -2