Номер 216, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 216, страница 231.

216. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 1, \\ x \le a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < -4, \\ x > a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < 1, \\ x \le a. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств, то есть $x \in (-\infty, 1) \cap (-\infty, a]$. Результат зависит от взаимного расположения чисел $1$ и $a$ на числовой оси.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 1$, то верхняя граница интервала $(-\infty, a]$ меньше верхней границы интервала $(-\infty, 1)$. Следовательно, пересечением этих двух множеств будет меньший из промежутков, то есть $(-\infty, a]$.

Решение в этом случае: $x \le a$.

2. Если $a \ge 1$, то верхняя граница интервала $(-\infty, a]$ больше или равна верхней границе интервала $(-\infty, 1)$. Пересечением множеств $(-\infty, 1)$ и $(-\infty, a]$ будет промежуток $(-\infty, 1)$.

Решение в этом случае: $x < 1$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a]$; если $a \ge 1$, то $x \in (-\infty, 1)$.

2)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < -4, \\ x > a. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств $x \in (-\infty, -4)$ и $x \in (a, +\infty)$. Это означает, что мы ищем числа $x$, которые одновременно меньше $-4$ и больше $a$. Такое возможно только если $a < -4$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < -4$, то на числовой оси точка $a$ находится левее точки $-4$. Существуют числа, которые больше $a$ и одновременно меньше $-4$. Эти числа образуют интервал $(a, -4)$.

Решение в этом случае: $a < x < -4$.

2. Если $a \ge -4$, то на числовой оси точка $a$ находится правее точки $-4$ или совпадает с ней. Не существует чисел, которые были бы одновременно меньше $-4$ и больше $a$. Множества $(-\infty, -4)$ и $(a, +\infty)$ не пересекаются.

В этом случае система не имеет решений.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (a, -4)$; если $a \ge -4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).