Номер 209, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 209, страница 230.

209. Сколько натуральных решений имеет неравенство $\frac{1-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+4}{8}$?

Для решения данного неравенства необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 5 и 8.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 4, 5 и 8 равно 40.

Умножим обе части неравенства на 40. Так как 40 — положительное число, знак неравенства не изменится: $$ 40 \cdot \frac{1-3x}{4} \ge 40 \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{5x+4}{8}\right) $$

Выполним сокращение и раскроем скобки: $$ 10 \cdot (1-3x) \ge 40 \cdot \frac{1}{5} - 40 \cdot \frac{5x+4}{8} $$ $$ 10 - 30x \ge 8 - 5 \cdot (5x+4) $$ $$ 10 - 30x \ge 8 - 25x - 20 $$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой: $$ -30x + 25x \ge 8 - 20 - 10 $$ $$ -5x \ge -22 $$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \le \frac{-22}{-5} $$ $$ x \le \frac{22}{5} $$

Преобразуем полученную дробь в десятичную для удобства: $$ x \le 4.4 $$

По условию задачи, нам нужно найти количество натуральных решений. Натуральные числа — это целые положительные числа. Найдём все натуральные числа, удовлетворяющие условию $x \le 4.4$:

Это числа 1, 2, 3 и 4.

Таким образом, неравенство имеет 4 натуральных решения.

Ответ: 4