Номер 205, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 205, страница 230.

205. Решите неравенство:

1) $8x + 4 \le 30 - 5x;$

2) $9 - 4x < 6x - 25;$

3) $\frac{4}{9}x + 3 < \frac{1}{3}x - 2;$

4) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7);$

5) $\frac{x + 4}{3} - \frac{x + 2}{6} \le 4;$

6) $\frac{2 - 5x}{4} - \frac{x - 3}{5} < \frac{x - 1}{10}.$

1) $8x + 4 \le 30 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую, изменяя знаки на противоположные:

$8x + 5x \le 30 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$13x \le 26$

Разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{26}{13}$

$x \le 2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

---

2) $9 - 4x < 6x - 25$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$9 + 25 < 6x + 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$34 < 10x$

Разделим обе части неравенства на 10:

$3,4 < x$

Это эквивалентно записи:

$x > 3,4$

Решением является числовой промежуток $(3,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3,4; +\infty)$.

---

3) $\frac{4}{9}x + 3 < \frac{1}{3}x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$\frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x < -2 - 3$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 9, домножив вторую дробь на 3:

$\frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x < -5$

$\frac{1}{9}x < -5$

Умножим обе части неравенства на 9. Знак неравенства не меняется:

$x < -5 \cdot 9$

$x < -45$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; -45)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -45)$.

---

4) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$0,3 \cdot 8 - 0,3 \cdot 3y \le 3,2 - 0,8 \cdot y - 0,8 \cdot (-7)$

$2,4 - 0,9y \le 3,2 - 0,8y + 5,6$

Сгруппируем свободные члены в правой части:

$2,4 - 0,9y \le 8,8 - 0,8y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$2,4 - 8,8 \le -0,8y + 0,9y$

Приведем подобные слагаемые:

$-6,4 \le 0,1y$

Разделим обе части на 0,1 (что эквивалентно умножению на 10):

$-64 \le y$

Или $y \ge -64$

Решением является числовой промежуток $[-64; +\infty)$.

Ответ: $y \in [-64; +\infty)$.

---

5) $\frac{x + 4}{3} - \frac{x + 2}{6} \le 4$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 3 и 6, который равен 6:

$6 \cdot \frac{x + 4}{3} - 6 \cdot \frac{x + 2}{6} \le 6 \cdot 4$

$2(x + 4) - 1(x + 2) \le 24$

Раскроем скобки:

$2x + 8 - x - 2 \le 24$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 6 \le 24$

Вычтем 6 из обеих частей:

$x \le 24 - 6$

$x \le 18$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 18]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 18]$.

---

6) $\frac{2 - 5x}{4} - \frac{x - 3}{5} < \frac{x - 1}{10}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 5 и 10. НОК(4, 5, 10) = 20.

Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot \frac{2 - 5x}{4} - 20 \cdot \frac{x - 3}{5} < 20 \cdot \frac{x - 1}{10}$

$5(2 - 5x) - 4(x - 3) < 2(x - 1)$

Раскроем скобки:

$10 - 25x - 4x + 12 < 2x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$22 - 29x < 2x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$22 + 2 < 2x + 29x$

$24 < 31x$

Разделим обе части на 31:

$\frac{24}{31} < x$

Или $x > \frac{24}{31}$

Решением является числовой промежуток $(\frac{24}{31}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{24}{31}; +\infty)$.