Номер 204, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 204, страница 230.

204. Решите неравенство:

1) $\frac{x-4}{x-4} > 0$;

2) $\frac{x-4}{x-4} \ge 0$;

3) $\frac{x-4}{x-4} > \frac{1}{4}$;

4) $\frac{x-4}{x-4} \le 1$;

5) $\left(\frac{x+3}{x-4}\right)^2 \ge 0$;

6) $\left(\frac{x+3}{x-4}\right)^2 > 0$.

1) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.

При всех значениях $x$ из ОДЗ (то есть при $x \neq 4$), выражение $\frac{x-4}{x-4}$ равно 1. Таким образом, неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 > 0$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} \ge 0$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

При всех $x \neq 4$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \ge 0$, что является верным.

Следовательно, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} > \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

На ОДЗ выражение $\frac{x-4}{x-4}$ равно 1. Неравенство сводится к $1 > \frac{1}{4}$.

Это верное числовое неравенство, значит, исходное неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} \le 1$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

На ОДЗ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$.

Это верное числовое неравенство. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

5) Рассмотрим неравенство $(\frac{x+3}{x-4})^2 \ge 0$.

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Выражение в левой части представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых выражение в левой части определено, то есть для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

6) Рассмотрим неравенство $(\frac{x+3}{x-4})^2 > 0$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Квадрат действительного числа строго больше нуля тогда и только тогда, когда само это число не равно нулю. Значит, нам нужно, чтобы основание степени не равнялось нулю:

$\frac{x+3}{x-4} \neq 0$

Дробь не равна нулю, когда ее числитель не равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Условие на знаменатель ($x \neq 4$) уже учтено в ОДЗ. Остается потребовать, чтобы числитель не был равен нулю:

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, за исключением тех, что обращают в ноль знаменатель ($x=4$) или числитель ($x=-3$).

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.