Номер 200, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 200, страница 229.

Учебник.

200. Дано: $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. Оцените значение выражения:

1) $x+y$;

2) $x-y$;

3) $xy$;

4) $\frac{x}{y}$;

5) $5x+2y$;

6) $3x-4y$.

Решение 2.

Даны числовые неравенства $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. На их основе оценим значения предложенных выражений.

1) $x + y$

Чтобы оценить значение суммы $x + y$, воспользуемся свойством сложения неравенств. Имеем два неравенства: $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. Сложим их почленно:

$2 + 3 < x + y < 6 + 4$

Вычисляем суммы в левой и правой частях неравенства:

$5 < x + y < 10$

Ответ: $5 < x + y < 10$.

2) $x - y$

Для оценки разности $x - y$ представим ее в виде суммы $x + (-y)$. Сначала найдем границы для $-y$. Из неравенства $3 < y < 4$ следует, что, умножив все его части на $-1$ и изменив знаки неравенства на противоположные, мы получим $-3 > -y > -4$.

Запишем полученное неравенство в стандартном виде: $-4 < -y < -3$.

Теперь сложим почленно неравенства $2 < x < 6$ и $-4 < -y < -3$:

$2 + (-4) < x + (-y) < 6 + (-3)$

Упростив, получаем окончательную оценку:

$-2 < x - y < 3$

Ответ: $-2 < x - y < 3$.

3) $xy$

Для оценки произведения $xy$, так как все части исходных неравенств $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$ положительны, мы можем их почленно перемножить.

Перемножаем левые и правые части неравенств:

$2 \cdot 3 < x \cdot y < 6 \cdot 4$

Вычисляем произведения:

$6 < xy < 24$

Ответ: $6 < xy < 24$.

4) $\frac{x}{y}$

Для оценки частного $\frac{x}{y}$ представим его в виде произведения $x \cdot \frac{1}{y}$. Сначала найдем границы для $\frac{1}{y}$.

Из неравенства $3 < y < 4$ (все части положительны) следует, что для обратной величины $\frac{1}{y}$ знаки неравенства меняются на противоположные: $\frac{1}{3} > \frac{1}{y} > \frac{1}{4}$.

Запишем это в стандартном виде: $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим почленно неравенства $2 < x < 6$ и $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}$ (все части положительны):

$2 \cdot \frac{1}{4} < x \cdot \frac{1}{y} < 6 \cdot \frac{1}{3}$

Упрощаем и получаем результат:

$\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$.

5) $5x + 2y$

Для оценки выражения $5x + 2y$ сначала найдем границы для $5x$ и $2y$.

Умножим неравенство $2 < x < 6$ на 5: $5 \cdot 2 < 5x < 5 \cdot 6$, что дает $10 < 5x < 30$.

Умножим неравенство $3 < y < 4$ на 2: $2 \cdot 3 < 2y < 2 \cdot 4$, что дает $6 < 2y < 8$.

Теперь сложим полученные неравенства $10 < 5x < 30$ и $6 < 2y < 8$ почленно:

$10 + 6 < 5x + 2y < 30 + 8$

В результате получаем:

$16 < 5x + 2y < 38$

Ответ: $16 < 5x + 2y < 38$.

6) $3x - 4y$

Для оценки выражения $3x - 4y$ найдем границы для $3x$ и $-4y$.

Умножим неравенство $2 < x < 6$ на 3, получим $6 < 3x < 18$.

Умножим неравенство $3 < y < 4$ на $-4$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются: $-4 \cdot 3 > -4y > -4 \cdot 4$, то есть $-12 > -4y > -16$. Запишем это в стандартном виде: $-16 < -4y < -12$.

Теперь сложим почленно неравенства $6 < 3x < 18$ и $-16 < -4y < -12$:

$6 + (-16) < 3x - 4y < 18 + (-12)$

Упростив выражение, получаем:

$-10 < 3x - 4y < 6$

Ответ: $-10 < 3x - 4y < 6$.