Номер 196, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 196, страница 229.

196. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(a+8)(a-7) > (a+10)(a-9);$

2) $(a+6)^2 - 3 < (a+5)(a+7).$

1)

Для доказательства неравенства $(a+8)(a-7) > (a+10)(a-9)$ необходимо выполнить тождественные преобразования, которые приведут к верному числовому неравенству, не зависящему от переменной $a$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$(a+8)(a-7) = a^2 - 7a + 8a - 56 = a^2 + a - 56$.

Теперь раскроем скобки в правой части неравенства:
$(a+10)(a-9) = a^2 - 9a + 10a - 90 = a^2 + a - 90$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:
$a^2 + a - 56 > a^2 + a - 90$.

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:
$a^2 + a - 56 - (a^2 + a - 90) > 0$
$a^2 + a - 56 - a^2 - a + 90 > 0$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(a^2 - a^2) + (a - a) + (90 - 56) > 0$
$0 + 0 + 34 > 0$
$34 > 0$.

Мы получили верное числовое неравенство $34 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a+6)^2 - 3 < (a+5)(a+7)$ выполним аналогичные преобразования.

Преобразуем левую часть неравенства, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(a+6)^2 - 3 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 3 = a^2 + 12a + 36 - 3 = a^2 + 12a + 33$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:
$(a+5)(a+7) = a^2 + 7a + 5a + 35 = a^2 + 12a + 35$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 + 12a + 33 < a^2 + 12a + 35$.

Вычтем из обеих частей неравенства одинаковое выражение $a^2 + 12a$:
$33 < 35$.

Мы получили верное числовое неравенство $33 < 35$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.