Номер 192, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 192, страница 228.

192. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} y - x = 0, \\ 2x + y = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = -1, \\ 2x + 2y = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 6, \\ x + y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x - y + 4 = 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy = 8, \\ x + y = -6; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases}$

1)

Данная система состоит из двух линейных уравнений. Первое уравнение, $y - x = 0$, можно переписать в виде $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

Второе уравнение, $2x + y = -6$, можно переписать как $y = -2x - 6$. Графиком также является прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = -6$ (точка (0, -6)); если $y = 0$, то $2x = -6$, откуда $x = -3$ (точка (-3, 0)).

Построим графики обоих уравнений в одной системе координат. Точка пересечения этих двух прямых и будет решением системы. Из графика видно, что прямые пересекаются в точке с координатами (-2, -2).

Ответ: (-2, -2).

2)

Система состоит из двух линейных уравнений. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$. Первое уравнение, $x + y = -1$, преобразуется в $y = -x - 1$. Второе уравнение, $2x + 2y = -3$, можно разделить на 2, получив $x + y = -1.5$, что преобразуется в $y = -x - 1.5$.

Графиками обоих уравнений являются прямые. У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент $k = -1$, что означает, что они параллельны. Однако, свободные члены (y-пересечения) у них разные ($-1$ и $-1.5$).

Поскольку прямые параллельны и не совпадают, они не имеют точек пересечения. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3)

Первое уравнение системы, $x^2 - y = 6$, можно переписать как $y = x^2 - 6$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, -6).

Второе уравнение, $x + y = 6$, можно переписать как $y = -x + 6$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 6) и (6, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения параболы и прямой. Построив графики, мы находим две точки пересечения: (-4, 10) и (3, 3).

Ответ: (-4, 10), (3, 3).

4)

Первое уравнение, $(x + 2)^2 + y^2 = 10$, является уравнением окружности с центром в точке (-2, 0) и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение, $x - y + 4 = 0$, можно переписать как $y = x + 4$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 4) и (-4, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: (-5, -1) и (-1, 3).

Ответ: (-5, -1), (-1, 3).

5)

Первое уравнение, $xy = 8$, можно представить в виде $y = 8/x$. Графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $x + y = -6$, можно переписать как $y = -x - 6$. Графиком является прямая, проходящая через точки (0, -6) и (-6, 0).

Решениями системы являются координаты точек пересечения гиперболы и прямой. На графике видно, что пересечение происходит в двух точках в третьем квадранте. Координаты этих точек: (-4, -2) и (-2, -4).

Ответ: (-4, -2), (-2, -4).

6)

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 13$, является уравнением окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение, $xy = 6$, можно представить в виде $y = 6/x$. Графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и гиперболы. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в четырех точках (по две в первом и третьем квадрантах). Координаты этих точек: (2, 3), (3, 2), (-2, -3) и (-3, -2).

Ответ: (2, 3), (3, 2), (-2, -3), (-3, -2).