Номер 199, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 199, страница 229.

199. Дано: $2 < x < 6$. Оцените значение выражения $\frac{3}{x}$.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{3}{x}$, необходимо выполнить несколько последовательных шагов, исходя из данного неравенства.

Изначально нам дано двойное неравенство для переменной $x$:

$2 < x < 6$

Поскольку все части неравенства ($2$, $x$ и $6$) являются положительными числами, мы можем применить свойство, связанное с обратными величинами. Функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей для всех $x > 0$. Это означает, что если $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (для положительных $a$ и $b$).

Применим это свойство к нашему неравенству $2 < x < 6$. Возьмем обратные величины от каждой части, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{6}$

Для удобства дальнейших действий, перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$\frac{1}{6} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Теперь нам нужно оценить выражение $\frac{3}{x}$, что эквивалентно $3 \cdot \frac{1}{x}$. Для этого умножим все части полученного неравенства на 3. Поскольку 3 — это положительное число, знаки неравенства останутся без изменений:

$3 \cdot \frac{1}{6} < 3 \cdot \frac{1}{x} < 3 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$\frac{3}{6} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$

Сократим дробь $\frac{3}{6}$ на 3:

$\frac{1}{2} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$

Таким образом, мы получили итоговую оценку для заданного выражения.

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$.