Номер 193, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 193, страница 229.

193. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = (x - 3)^2, \\ xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + x = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = (x-3)^2, \\ xy = 4. \end{cases} $

Первое уравнение $y = (x-3)^2$ задает параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Парабола расположена в верхней полуплоскости, так как $y \ge 0$.

Второе уравнение $xy = 4$ можно записать как $y = \frac{4}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами гиперболы являются оси координат.

Поскольку парабола находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая расположена в I четверти ($x > 0, y > 0$). Построим эскизы графиков. Парабола проходит через точки $(3,0)$, $(4,1)$, $(2,1)$, $(1,4)$. Гипербола проходит через точки $(1,4)$, $(2,2)$, $(4,1)$. Из этого видно, что графики пересекаются в точках $(1,4)$ и $(4,1)$. Чтобы определить характер пересечения, можно сравнить наклоны касательных в этих точках (найти производные). Для параболы $y = (x-3)^2$, производная $y' = 2(x-3)$. Для гиперболы $y = \frac{4}{x}$, производная $y' = -\frac{4}{x^2}$. В точке $x=1$: $y'_{параболы} = 2(1-3) = -4$ и $y'_{гиперболы} = -\frac{4}{1^2} = -4$. Так как производные в точке $x=1$ равны, графики в точке $(1,4)$ касаются. Это одна общая точка. В точке $x=4$: $y'_{параболы} = 2(4-3) = 2$ и $y'_{гиперболы} = -\frac{4}{4^2} = -\frac{1}{4}$. Производные не равны, значит в точке $(4,1)$ графики пересекаются. Это вторая общая точка. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + x = 3. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y + x = 3$ можно записать как $y = -x + 3$. Это уравнение задает прямую.

Чтобы определить количество решений системы, найдем количество точек пересечения окружности и прямой. Для этого можно найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом. Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. В нашем случае центр окружности — точка $(0, 0)$, а уравнение прямой — $x + y - 3 = 0$. $d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$. Радиус окружности $r=2$. Так как расстояние от центра окружности до прямой ($d \approx 2.12$) больше радиуса ($r=2$), прямая не пересекает окружность. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0.

3)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y = 1, \\ x^2 + y = 4x. \end{cases} $

Выразим $y$ из обоих уравнений, чтобы определить тип графиков: 1) $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. 2) $y = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 4x) = -( (x^2 - 4x + 4) - 4 ) = -(x-2)^2 + 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$.

Графиком первого уравнения является парабола, открывающаяся вверх, а второго — парабола, открывающаяся вниз. Такие параболы обязательно пересекутся. Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем выражения для $y$: $x^2 - 1 = -x^2 + 4x$ $2x^2 - 4x - 1 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его действительных корней определит количество точек пересечения. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$. Поскольку $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

4)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 8$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Второе уравнение $xy = 2$ можно записать как $y = \frac{2}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях.

Обе кривые симметричны относительно начала координат. Рассмотрим пересечение в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Минимальное расстояние от начала координат до точек гиперболы $y = \frac{k}{x}$ достигается на прямой $y=x$. Для нашей гиперболы в этой точке $x \cdot x = 2$, то есть $x^2 = 2$, $x=\sqrt{2}$. Точка ближайшего подхода к центру — $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Расстояние от начала координат до этой точки равно $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Радиус окружности $r = \sqrt{8} \approx 2.83$. Так как минимальное расстояние от гиперболы до центра $(2)$ меньше радиуса окружности $(\sqrt{8})$, ветвь гиперболы в I четверти пересекает окружность. Из-за выпуклости обеих кривых, они пересекутся в двух точках в этой четверти. Аналогично, из-за симметрии относительно начала координат, ветвь гиперболы в III четверти также пересечет окружность в двух точках. Общее количество точек пересечения — четыре.

Ответ: 4.