Номер 186, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 186, страница 227.

186. При каких значениях a система уравнений:

1) $\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 4x + 7y = a \end{cases}$ не имеет решений;

2) $\begin{cases} 5x + ay = 6, \\ 20x - 16y = 24 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений;

3) $\begin{cases} ax + 2y = 8, \\ 7x - 4y = -18 \end{cases}$ имеет единственное решение?

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 7y = 5 \\ 4x + 7y = a \end{cases} $.

Система линейных уравнений не имеет решений тогда и только тогда, когда графики уравнений являются параллельными и несовпадающими прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $.

В нашем случае коэффициенты при $x$ и $y$ в обоих уравнениях равны ($A_1=4, A_2=4, B_1=7, B_2=7$), поэтому их отношения равны единице:$ \frac{4}{4} = \frac{7}{7} = 1 $.

Это означает, что прямые параллельны. Чтобы они не совпадали и система не имела решений, отношение свободных членов не должно быть равно этому значению:$ \frac{5}{a} \neq 1 $, что равносильно $ a \neq 5 $.

Если $a=5$, то оба уравнения становятся идентичными ($4x+7y=5$), что означает, что они описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечно много решений. Если же $a \neq 5$, то левые части уравнений равны ($4x+7y$), а правые нет ($5 \neq a$), что является противоречием. Следовательно, решений у системы нет.

Ответ: $a \neq 5$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x + ay = 6 \\ 20x - 16y = 24 \end{cases} $.

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если графики уравнений являются совпадающими прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию пропорциональности всех коэффициентов: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.

Подставим коэффициенты из данной системы ($A_1=5, B_1=a, C_1=6, A_2=20, B_2=-16, C_2=24$) в это соотношение:$ \frac{5}{20} = \frac{a}{-16} = \frac{6}{24} $.

Вычислим значения известных отношений:$ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $$ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $.

Так как отношения коэффициентов при $x$ и свободных членов равны, для выполнения условия необходимо, чтобы отношение коэффициентов при $y$ также было равно $ \frac{1}{4} $:$ \frac{a}{-16} = \frac{1}{4} $.

Решим это уравнение относительно $a$:$ 4a = -16 $$ a = \frac{-16}{4} $$ a = -4 $.

Ответ: $a = -4$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + 2y = 8 \\ 7x - 4y = -18 \end{cases} $.

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если графики уравнений являются пересекающимися прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию непропорциональности коэффициентов при переменных: $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $.

Подставим коэффициенты из данной системы ($A_1=a, B_1=2, A_2=7, B_2=-4$) в это условие:$ \frac{a}{7} \neq \frac{2}{-4} $.

Упростим правую часть неравенства:$ \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $.

Таким образом, неравенство принимает вид:$ \frac{a}{7} \neq -\frac{1}{2} $.

Выразим $a$:$ a \neq 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ a \neq -3.5 $.

При $a = -3.5$ коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, что означает, что прямые параллельны. Во всех остальных случаях, то есть при $a \neq -3.5$, прямые будут пересекаться, и система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a \neq -3.5$.