Страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

177. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $5x^2 + 2x - 11 = 0$. Не решая это уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета, которая связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает следующее:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $5x^2 + 2x - 11 = 0$ имеем следующие коэффициенты:

• $a = 5$
• $b = 2$
• $c = -11$

Теперь, не решая уравнение, найдем сумму и произведение его корней $x_1$ и $x_2$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2}{5}$

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{-11}{5} = -\frac{11}{5}$

Далее, нам нужно найти значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$. Преобразуем это выражение, чтобы использовать найденные значения суммы и произведения корней. Вынесем минус за скобки у последних двух слагаемых:

$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3(x_1x_2) - (x_1 + x_2)$

Теперь подставим в преобразованное выражение найденные значения для $x_1x_2$ и $x_1 + x_2$:

$3 \cdot (-\frac{11}{5}) - (-\frac{2}{5}) = -\frac{33}{5} + \frac{2}{5} = \frac{-33 + 2}{5} = -\frac{31}{5}$

Переведем полученную неправильную дробь в десятичную:

$-\frac{31}{5} = -6,2$

Ответ: $-6,2$

178. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 7 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$.

По условию, корни уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что их сумма равна нулю:

$x_1 + x_2 = 0$

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$).

Применим теорему Виета к нашему уравнению $x^2 + bx - 7 = 0$:

$x_1 + x_2 = -b$

Так как мы знаем, что $x_1 + x_2 = 0$, мы можем составить равенство:

$-b = 0$

Отсюда следует, что искомое значение $b$ равно 0.

Теперь, когда значение $b$ найдено, мы можем найти сами корни. Подставим $b=0$ в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 7 = 0$

$x^2 - 7 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, перенеся 7 в правую часть:

$x^2 = 7$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$

Эти корни действительно являются противоположными числами, так как $\sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.

Ответ: Значение $b$ равно 0; корни уравнения: $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$.

179. Один из корней уравнения $x^2 - 8x + c = 0$ на 6 меньше другого. Найдите значение c и корни уравнения.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма его корней ($x_1$ и $x_2$) равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + c = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = c$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
1) $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$
2) $x_1 \cdot x_2 = c$

По условию задачи, один корень на 6 меньше другого. Пусть $x_1$ будет меньшим корнем, тогда $x_2 = x_1 + 6$.

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения корней:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_2 = x_1 + 6 \end{cases}$

Подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое, чтобы найти корни уравнения:
$x_1 + (x_1 + 6) = 8$
$2x_1 + 6 = 8$
$2x_1 = 8 - 6$
$2x_1 = 2$
$x_1 = 1$

Зная первый корень, находим второй:
$x_2 = x_1 + 6 = 1 + 6 = 7$
Таким образом, корни уравнения — 1 и 7.

Теперь, зная корни, мы можем найти значение c, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$c = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 7 = 7$

Ответ: значение $c = 7$, корни уравнения: 1 и 7.

180. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 5x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - 3x_2 = 20$. Найдите корни уравнения и значение $m$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 5x + m = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что корни удовлетворяют условию $2x_1 - 3x_2 = 20$. Необходимо найти корни уравнения и значение $m$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 5x + m = 0$ получаем:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$. Первое уравнение взято из теоремы Виета, а второе — из условия задачи:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ 2x_1 - 3x_2 = 20 \end{cases} $

Решим эту систему. Выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = 5 - x_2$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(5 - x_2) - 3x_2 = 20$
$10 - 2x_2 - 3x_2 = 20$
$10 - 5x_2 = 20$
$-5x_2 = 20 - 10$
$-5x_2 = 10$
$x_2 = \frac{10}{-5} = -2$

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$:
$x_1 = 5 - x_2 = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$.
Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Наконец, найдем значение параметра $m$, используя второе соотношение из теоремы Виета: $m = x_1 \cdot x_2$.
Подставим найденные значения корней:
$m = 7 \cdot (-2) = -14$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$; значение $m = -14$.

181. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 8x + 5 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 8x + 5 = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = 5$.

Следовательно, по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = 5$.

Теперь, используя эти два соотношения, найдем значения заданных выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: $1.6$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Из нее следует, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8^2 - 2 \cdot 5 = 64 - 10 = 54$

Ответ: $54$

3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в предыдущем пункте. Подставим его и значение произведения корней:

$54 - 2 \cdot 5 = 54 - 10 = 44$

Также можно воспользоваться тождеством $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 8^2 - 4 \cdot 5 = 64 - 20 = 44$

Ответ: $44$

4) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через элементарные симметрические многочлены: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$8^3 - 3 \cdot 5 \cdot 8 = 512 - 120 = 392$

Ответ: $392$

182. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Пусть корни исходного уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$ — это $x_1$ и $x_2$. Пусть корни нового, искомого уравнения — это $y_1$ и $y_2$.

По условию, корни нового уравнения на 2 больше соответствующих корней исходного. Это означает, что для любого корня $x$ исходного уравнения соответствующий корень $y$ нового уравнения будет равен $y = x + 2$.

Из этого соотношения мы можем выразить $x$ через $y$: $x = y - 2$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$, мы можем подставить в него выражение $y - 2$ вместо $x$. Таким образом, мы получим уравнение, которому удовлетворяют новые корни $y$.

Подставляем $x = y - 2$ в исходное уравнение:
$(y - 2)^2 + 7(y - 2) - 4 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$.
$(y^2 - 4y + 4) + (7y - 14) - 4 = 0$

Убираем скобки и группируем слагаемые:
$y^2 - 4y + 4 + 7y - 14 - 4 = 0$
$y^2 + (-4y + 7y) + (4 - 14 - 4) = 0$

Выполняем вычисления:
$y^2 + 3y - 14 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение. Традиционно его записывают с переменной $x$.

Ответ: $x^2 + 3x - 14 = 0$

183. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни исходного уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$. По условию, требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа $y_1 = \frac{x_1}{3}$ и $y_2 = \frac{x_2}{3}$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для исходного уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$ с коэффициентами $a=2$, $b=-8$, $c=3$ по теореме Виета найдем сумму и произведение его корней.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем сумму и произведение корней $y_1$ и $y_2$ для нового уравнения.

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{4}{3}$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 \cdot x_2}{9} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

По теореме, обратной теореме Виета, искомое уравнение можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставим найденные значения:

$y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{1}{6} = 0$.

Чтобы избавиться от дробей в коэффициентах, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 6), то есть на 6:

$6 \cdot y^2 - 6 \cdot \frac{4}{3}y + 6 \cdot \frac{1}{6} = 0$

$6y^2 - 8y + 1 = 0$.

Способ 2: Метод замены переменной

Пусть $y$ – корень искомого уравнения. По условию, $y = \frac{x}{3}$, где $x$ – корень исходного уравнения. Выразим $x$ через $y$: $x = 3y$.

Подставим выражение $x = 3y$ в исходное уравнение $2x^2 - 8x + 3 = 0$:

$2(3y)^2 - 8(3y) + 3 = 0$.

Выполним преобразования:

$2(9y^2) - 24y + 3 = 0$

$18y^2 - 24y + 3 = 0$.

Полученное уравнение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{18}{3}y^2 - \frac{24}{3}y + \frac{3}{3} = 0$

$6y^2 - 8y + 1 = 0$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Обычно в итоговом уравнении переменную снова обозначают как $x$.

Ответ: $6x^2 - 8x + 1 = 0$.

184. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 7x - 3y = 23; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5y = 6 \\ 6x + 5y = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x + 7y = 38 \\ 3x - 4y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 7 \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = -4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{p+3}{2} - \frac{q+2}{3} = 2 \\ \frac{p-1}{8} + \frac{q-1}{6} = 2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{7x+1}{4} - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x-y}{2}, \\ \frac{x-3y}{3} + \frac{x+y}{2} = x - y. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 7x - 3y = 23; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 1 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$7x - 3(1 - 2x) = 23$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$7x - 3 + 6x = 23$

$13x = 23 + 3$

$13x = 26$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$

Ответ: $(2; -3)$.

2) $ \begin{cases} 3x - 5y = 6, \\ 6x + 5y = -3; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-5$ и $5$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(3x - 5y) + (6x + 5y) = 6 + (-3)$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$3(\frac{1}{3}) - 5y = 6$

$1 - 5y = 6$

$-5y = 5$

$y = -1$

Ответ: $(\frac{1}{3}; -1)$.

3) $ \begin{cases} 6x + 7y = 38, \\ 3x - 4y = 4; \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(3x - 4y) = -2(4) \implies -6x + 8y = -8$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 6x + 7y = 38, \\ -6x + 8y = -8; \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(6x + 7y) + (-6x + 8y) = 38 - 8$

$15y = 30$

$y = 2$

Подставим значение $y$ во второе исходное уравнение:

$3x - 4(2) = 4$

$3x - 8 = 4$

$3x = 12$

$x = 4$

Ответ: $(4; 2)$.

4) $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 7, \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = -4; \end{cases} $

Сначала избавимся от дробей, умножив каждое уравнение на наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Для первого уравнения НОК(2, 3) = 6:

$6(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 7 \implies 3x - 2y = 42$

Для второго уравнения НОК(4, 3) = 12:

$12(\frac{x}{4} + \frac{2y}{3}) = 12 \cdot (-4) \implies 3x + 8y = -48$

Получаем эквивалентную систему:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 42, \\ 3x + 8y = -48; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + 8y) - (3x - 2y) = -48 - 42$

$10y = -90$

$y = -9$

Подставим $y = -9$ в первое упрощенное уравнение:

$3x - 2(-9) = 42$

$3x + 18 = 42$

$3x = 24$

$x = 8$

Ответ: $(8; -9)$.

5) $ \begin{cases} \frac{p+3}{2} - \frac{q+2}{3} = 2, \\ \frac{p-1}{8} + \frac{q-1}{6} = 2; \end{cases} $

Упростим уравнения, избавившись от знаменателей.

Для первого уравнения НОК(2, 3) = 6:

$3(p+3) - 2(q+2) = 12 \implies 3p + 9 - 2q - 4 = 12 \implies 3p - 2q = 7$

Для второго уравнения НОК(8, 6) = 24:

$3(p-1) + 4(q-1) = 48 \implies 3p - 3 + 4q - 4 = 48 \implies 3p + 4q = 55$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 3p - 2q = 7, \\ 3p + 4q = 55; \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3p + 4q) - (3p - 2q) = 55 - 7$

$6q = 48$

$q = 8$

Подставим $q = 8$ в первое упрощенное уравнение:

$3p - 2(8) = 7$

$3p - 16 = 7$

$3p = 23$

$p = \frac{23}{3}$

Ответ: $(\frac{23}{3}; 8)$.

6) $ \begin{cases} \frac{7x+1}{4} - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x-y}{2}, \\ \frac{x-3y}{3} + \frac{x+y}{2} = x-y; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение (умножим на НОК(4,3,2)=12):

$3(7x+1) - 4(2x-3) = 6(3x-y)$

$21x + 3 - 8x + 12 = 18x - 6y$

$13x + 15 = 18x - 6y$

$5x - 6y = 15$

Второе уравнение (умножим на НОК(3,2)=6):

$2(x-3y) + 3(x+y) = 6(x-y)$

$2x - 6y + 3x + 3y = 6x - 6y$

$5x - 3y = 6x - 6y$

$3y = x$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 5x - 6y = 15, \\ x = 3y; \end{cases} $

Подставим $x = 3y$ в первое уравнение:

$5(3y) - 6y = 15$

$15y - 6y = 15$

$9y = 15$

$y = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Найдем $x$:

$x = 3y = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5$

Ответ: $(5; \frac{5}{3})$.

185. Прямая $y = kx + b$ проходит через точки $M(3; 3)$ и $E(1; 7)$. Запишите уравнение этой прямой.

Чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, необходимо определить значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член).

По условию, прямая проходит через точки $M(3; 3)$ и $E(1; 7)$. Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $b$), подставив координаты точек в уравнение $y = kx + b$.

1. Для точки $M(3; 3)$ подставляем $x = 3$ и $y = 3$:
$3 = k \cdot 3 + b$
$3k + b = 3$

2. Для точки $E(1; 7)$ подставляем $x = 1$ и $y = 7$:
$7 = k \cdot 1 + b$
$k + b = 7$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 3k + b = 3 \\ k + b = 7 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(3k + b) - (k + b) = 3 - 7$
$2k = -4$
$k = \frac{-4}{2}$
$k = -2$

Теперь, когда мы нашли значение $k$, подставим его в любое из двух уравнений, чтобы найти $b$. Воспользуемся вторым уравнением $k + b = 7$:
$-2 + b = 7$
$b = 7 + 2$
$b = 9$

Итак, мы нашли коэффициенты: $k = -2$ и $b = 9$. Подставим их в общее уравнение прямой $y = kx + b$.

Уравнение искомой прямой: $y = -2x + 9$.

Ответ: $y = -2x + 9$

186. При каких значениях a система уравнений:

1) $\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 4x + 7y = a \end{cases}$ не имеет решений;

2) $\begin{cases} 5x + ay = 6, \\ 20x - 16y = 24 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений;

3) $\begin{cases} ax + 2y = 8, \\ 7x - 4y = -18 \end{cases}$ имеет единственное решение?

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 7y = 5 \\ 4x + 7y = a \end{cases} $.

Система линейных уравнений не имеет решений тогда и только тогда, когда графики уравнений являются параллельными и несовпадающими прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $.

В нашем случае коэффициенты при $x$ и $y$ в обоих уравнениях равны ($A_1=4, A_2=4, B_1=7, B_2=7$), поэтому их отношения равны единице:$ \frac{4}{4} = \frac{7}{7} = 1 $.

Это означает, что прямые параллельны. Чтобы они не совпадали и система не имела решений, отношение свободных членов не должно быть равно этому значению:$ \frac{5}{a} \neq 1 $, что равносильно $ a \neq 5 $.

Если $a=5$, то оба уравнения становятся идентичными ($4x+7y=5$), что означает, что они описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечно много решений. Если же $a \neq 5$, то левые части уравнений равны ($4x+7y$), а правые нет ($5 \neq a$), что является противоречием. Следовательно, решений у системы нет.

Ответ: $a \neq 5$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x + ay = 6 \\ 20x - 16y = 24 \end{cases} $.

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если графики уравнений являются совпадающими прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию пропорциональности всех коэффициентов: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.

Подставим коэффициенты из данной системы ($A_1=5, B_1=a, C_1=6, A_2=20, B_2=-16, C_2=24$) в это соотношение:$ \frac{5}{20} = \frac{a}{-16} = \frac{6}{24} $.

Вычислим значения известных отношений:$ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $$ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $.

Так как отношения коэффициентов при $x$ и свободных членов равны, для выполнения условия необходимо, чтобы отношение коэффициентов при $y$ также было равно $ \frac{1}{4} $:$ \frac{a}{-16} = \frac{1}{4} $.

Решим это уравнение относительно $a$:$ 4a = -16 $$ a = \frac{-16}{4} $$ a = -4 $.

Ответ: $a = -4$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + 2y = 8 \\ 7x - 4y = -18 \end{cases} $.

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если графики уравнений являются пересекающимися прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ это соответствует условию непропорциональности коэффициентов при переменных: $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $.

Подставим коэффициенты из данной системы ($A_1=a, B_1=2, A_2=7, B_2=-4$) в это условие:$ \frac{a}{7} \neq \frac{2}{-4} $.

Упростим правую часть неравенства:$ \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $.

Таким образом, неравенство принимает вид:$ \frac{a}{7} \neq -\frac{1}{2} $.

Выразим $a$:$ a \neq 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) $$ a \neq -3.5 $.

При $a = -3.5$ коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, что означает, что прямые параллельны. Во всех остальных случаях, то есть при $a \neq -3.5$, прямые будут пересекаться, и система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a \neq -3.5$.