Страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

142. При некоторых положительных значениях $a$ и $b$ выполняются равенства $a^2 + b^2 = 34$, $ab = 15$. Найдите значение выражения $a + b$ при этих же значениях $a$ и $b$.

Для нахождения значения выражения $a + b$, воспользуемся известными данными: $a^2 + b^2 = 34$ и $ab = 15$.

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Сгруппируем слагаемые в правой части, чтобы использовать известные нам выражения:

$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в эту формулу:

$(a + b)^2 = 34 + 2 \cdot 15$

Выполним вычисления в правой части равенства:

$(a + b)^2 = 34 + 30$

$(a + b)^2 = 64$

Чтобы найти значение $a + b$, извлечем квадратный корень из 64:

$a + b = \sqrt{64}$

Это дает нам два возможных результата: $a + b = 8$ или $a + b = -8$.

В условии задачи указано, что $a$ и $b$ — положительные числа. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Поэтому мы должны выбрать положительный корень.

Следовательно, значение выражения $a + b$ равно 8.

Ответ: 8

143. Числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 + y^2 = 1$. Найдите значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Для нахождения значения выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$ при условии, что $x^2 + y^2 = 1$, преобразуем искомое выражение. Сначала сгруппируем первый и последний члены: $(x^6 + y^6) + 3x^2y^2$.

Выражение в скобках, $x^6 + y^6$, можно представить как сумму кубов, поскольку $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где в нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Применяя формулу, получаем:
$x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

По условию задачи, $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в полученное равенство:
$x^6 + y^6 = 1 \cdot (x^4 - x^2y^2 + y^4) = x^4 - x^2y^2 + y^4$.

Теперь подставим это упрощенное выражение для $x^6 + y^6$ обратно в исходное выражение:
$(x^4 - x^2y^2 + y^4) + 3x^2y^2$.

Приведя подобные слагаемые, получим:
$x^4 - x^2y^2 + 3x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

Полученное выражение $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом суммы. Его можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$.

Наконец, вновь используем данное в условии равенство $x^2 + y^2 = 1$:
$(x^2 + y^2)^2 = 1^2 = 1$.

Таким образом, значение искомого выражения равно 1.

Ответ: 1

144. Числа $x$ и $y$ таковы, что $x^3 - y^2 = 2$. Найдите значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Нам дано, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству $x^3 - y^2 = 2$. Необходимо найти значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Для решения задачи воспользуемся методом подстановки. Выразим $x^3$ из данного равенства:
$x^3 = y^2 + 2$.

Теперь подставим это выражение в искомое выражение $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.
Заметим, что $x^9$ можно представить как $(x^3)^3$. Таким образом, мы можем заменить все вхождения $x^3$ на $y^2 + 2$:
$(x^3)^3 - 6(x^3)y^2 - y^6 = (y^2 + 2)^3 - 6(y^2 + 2)y^2 - y^6$.

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение.
Сначала воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия $(y^2 + 2)^3$:
$(y^2 + 2)^3 = (y^2)^3 + 3 \cdot (y^2)^2 \cdot 2 + 3 \cdot y^2 \cdot 2^2 + 2^3 = y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8$.

Далее раскроем второе слагаемое:
$-6(y^2 + 2)y^2 = -6y^4 - 12y^2$.

Теперь соберем все части выражения вместе:
$(y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8) + (-6y^4 - 12y^2) - y^6$.

Приведем подобные слагаемые, чтобы найти окончательное значение:
$y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8 - 6y^4 - 12y^2 - y^6 = (y^6 - y^6) + (6y^4 - 6y^4) + (12y^2 - 12y^2) + 8$.
Все члены, содержащие $y$, взаимно уничтожаются:
$0 + 0 + 0 + 8 = 8$.

Таким образом, значение исходного выражения равно 8.

Ответ: 8

145. При некоторых значениях $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 - x_2 = 7$, $x_1x_2 = 4$. Найдите при этих же значениях $x_1$ и $x_2$ значение выражения:

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 + x_2)^2$;

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать данные из условия: $x_1 - x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 4$.

В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1 x_2$. Получим:
$x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 - x_1)$.
Из условия известно, что $x_1 - x_2 = 7$. Тогда $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2) = -7$.
Теперь подставим известные значения в полученное выражение:
$x_1 x_2 (x_2 - x_1) = 4 \cdot (-7) = -28$.
Ответ: -28.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выразим из нее сумму квадратов: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.
Применим эту формулу для наших переменных:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + 2x_1 x_2$.
Подставим известные значения из условия:
$(x_1 - x_2)^2 + 2x_1 x_2 = 7^2 + 2 \cdot 4 = 49 + 8 = 57$.
Ответ: 57.

Воспользуемся тождеством, которое связывает квадрат суммы и квадрат разности: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$.
Применим это тождество для наших переменных:
$(x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2$.
Подставим известные значения:
$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2 = 7^2 + 4 \cdot 4 = 49 + 16 = 65$.
Ответ: 65.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в пункте 2, оно равно 57.
Преобразуем выражение:
$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 - x_2)((x_1^2 + x_2^2) + x_1 x_2)$.
Подставим все известные значения:
$7 \cdot (57 + 4) = 7 \cdot 61 = 427$.
Ответ: 427.

146. При некоторых значениях $x$ и $y$ выполняются равенства $x + y = 6$, $xy = -3$. Найдите при этих же значениях $x$ и $y$ значение выражения:

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

2) $(x - y)^2$;

3) $x^4 + y^4$.

Нам даны два равенства: $x + y = 6$ и $xy = -3$. Используя их, найдем значения требуемых выражений.

1) $x^3y^2 + x^2y^3$

Для нахождения значения этого выражения, сначала вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2(x + y)$.
Выражение $x^2y^2$ можно представить в виде $(xy)^2$. Тогда получим:
$(xy)^2(x + y)$.
Теперь подставим известные нам значения $xy = -3$ и $x + y = 6$:
$(-3)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$.
Ответ: 54

2) $(x - y)^2$

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой квадрата разности, которая связывает его с квадратом суммы:
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$.
Подставим известные значения $x + y = 6$ и $xy = -3$ в эту формулу:
$(6)^2 - 4(-3) = 36 + 12 = 48$.
Ответ: 48

3) $x^4 + y^4$

Для решения этой задачи нам сначала потребуется найти значение выражения $x^2 + y^2$. Его можно получить из формулы квадрата суммы:
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, откуда $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
Подставим известные значения:
$x^2 + y^2 = (6)^2 - 2(-3) = 36 + 6 = 42$.
Теперь представим $x^4 + y^4$ как сумму квадратов и воспользуемся той же логикой:
$x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$.
Это выражение можно записать как $(x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Подставим найденное значение $x^2 + y^2 = 42$ и исходное значение $xy = -3$:
$(42)^2 - 2(-3)^2 = 1764 - 2(9) = 1764 - 18 = 1746$.
Ответ: 1746

147. Сократите дробь:

1) $\frac{3a}{12b}$;

2) $\frac{8xy}{4xz}$;

3) $\frac{20m^2}{15m^3}$;

4) $\frac{3a^2bc}{21abc^4}$;

5) $\frac{36m^5n^4}{24m^2n^7}$;

6) $\frac{39p^6q^9}{65p^9q^6}$.

1) Чтобы сократить дробь, нужно разделить её числитель и знаменатель на их общие множители.

Сначала сократим числовые коэффициенты 3 и 12. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 3.

$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому их сократить нельзя.

Таким образом, в числителе остаётся $1 \cdot a = a$, а в знаменателе $4 \cdot b = 4b$.

Ответ: $\frac{a}{4b}$

2) Сократим числовые коэффициенты 8 и 4 на их НОД, равный 4: $\frac{8}{4} = \frac{2}{1}$.

Сократим одинаковые переменные в числителе и знаменателе: $\frac{x}{x} = 1$.

Переменная $y$ остается в числителе, а $z$ — в знаменателе.

Собираем итоговую дробь: $\frac{2 \cdot y}{1 \cdot z} = \frac{2y}{z}$.

Ответ: $\frac{2y}{z}$

3) Сократим коэффициенты 20 и 15 на их НОД, равный 5: $\frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.

Сократим степени переменной $m$, используя свойство степеней $\frac{a^n}{a^k} = \frac{1}{a^{k-n}}$ (при $k > n$):

$\frac{m^2}{m^3} = \frac{1}{m^{3-2}} = \frac{1}{m}$

Объединяем результаты: в числителе остаётся 4, в знаменателе $3 \cdot m$.

Ответ: $\frac{4}{3m}$

4) Сократим дробь поэтапно, рассматривая коэффициенты и каждую переменную отдельно.

1. Коэффициенты: НОД(3, 21) = 3. $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.

2. Переменная $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$ (остаётся в числителе).

3. Переменная $b$: $\frac{b}{b} = 1$ (сокращается полностью).

4. Переменная $c$: $\frac{c}{c^4} = \frac{1}{c^{4-1}} = \frac{1}{c^3}$ ($c^3$ остаётся в знаменателе).

Собираем всё вместе: $\frac{1 \cdot a \cdot 1}{7 \cdot 1 \cdot c^3} = \frac{a}{7c^3}$.

Ответ: $\frac{a}{7c^3}$

5) Сократим дробь поэтапно.

1. Коэффициенты: НОД(36, 24) = 12. $\frac{36}{24} = \frac{3}{2}$.

2. Переменная $m$: $\frac{m^5}{m^2} = m^{5-2} = m^3$ (остаётся в числителе).

3. Переменная $n$: $\frac{n^4}{n^7} = \frac{1}{n^{7-4}} = \frac{1}{n^3}$ ($n^3$ остаётся в знаменателе).

Собираем всё вместе: $\frac{3 \cdot m^3}{2 \cdot n^3} = \frac{3m^3}{2n^3}$.

Ответ: $\frac{3m^3}{2n^3}$

6) Сократим дробь поэтапно.

1. Коэффициенты: НОД(39, 65) = 13, так как $39 = 3 \cdot 13$ и $65 = 5 \cdot 13$. $\frac{39}{65} = \frac{3}{5}$.

2. Переменная $p$: $\frac{p^6}{p^9} = \frac{1}{p^{9-6}} = \frac{1}{p^3}$ ($p^3$ остаётся в знаменателе).

3. Переменная $q$: $\frac{q^9}{q^6} = q^{9-6} = q^3$ ($q^3$ остаётся в числителе).

Собираем всё вместе: $\frac{3 \cdot q^3}{5 \cdot p^3} = \frac{3q^3}{5p^3}$.

Ответ: $\frac{3q^3}{5p^3}$

148. Сократите дробь:

1) $\frac{4a + 12b}{4a}$;

2) $\frac{7x - 14y}{3x - 6y}$;

3) $\frac{x^2 - 25}{2x + 10}$;

4) $\frac{6y^2 - 3y}{4 - 8y}$;

5) $\frac{b^6 - b^4}{b^3 - b^5}$;

6) $\frac{4p^2 + 28pq + 49q^2}{49q^2 - 4p^2}$;

7) $\frac{a^3 - 27}{9a - 27}$;

8) $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$;

9) $\frac{7a^2 + 7a + 7}{14a^3 - 14}$;

10) $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 9x + 14}$;

11) $\frac{2a^2 + 9a - 18}{4a^2 - 9}$;

12) $\frac{x^2 - 64}{32 + 4x - x^2}$;

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4a + 12b}{4a}$, вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:
$4a + 12b = 4(a + 3b)$
Получаем дробь:
$\frac{4(a + 3b)}{4a}$
Сокращаем общий множитель 4 в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{4}(a + 3b)}{\cancel{4}a} = \frac{a + 3b}{a}$
Ответ: $\frac{a + 3b}{a}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{7x - 14y}{3x - 6y}$, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 7: $7x - 14y = 7(x - 2y)$
В знаменателе общий множитель 3: $3x - 6y = 3(x - 2y)$
Получаем дробь:
$\frac{7(x - 2y)}{3(x - 2y)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 2y)$:
$\frac{7\cancel{(x - 2y)}}{3\cancel{(x - 2y)}} = \frac{7}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 25}{2x + 10}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 25$ — это разность квадратов $x^2 - 5^2$, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x + 10 = 2(x + 5)$
Получаем дробь:
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$
Сокращаем общий множитель $(x + 5)$:
$\frac{(x - 5)\cancel{(x + 5)}}{2\cancel{(x + 5)}} = \frac{x - 5}{2}$
Ответ: $\frac{x - 5}{2}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{6y^2 - 3y}{4 - 8y}$, вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем $3y$: $6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$
В знаменателе вынесем 4: $4 - 8y = 4(1 - 2y)$
Получаем дробь: $\frac{3y(2y - 1)}{4(1 - 2y)}$
Заметим, что $2y - 1 = -(1 - 2y)$. Заменим выражение в числителе:
$\frac{3y \cdot (-(1 - 2y))}{4(1 - 2y)} = \frac{-3y(1 - 2y)}{4(1 - 2y)}$
Сокращаем общий множитель $(1 - 2y)$:
$\frac{-3y\cancel{(1 - 2y)}}{4\cancel{(1 - 2y)}} = -\frac{3y}{4}$
Ответ: $-\frac{3y}{4}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{b^6 - b^4}{b^3 - b^5}$, вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем $b^4$: $b^6 - b^4 = b^4(b^2 - 1)$
В знаменателе вынесем $b^3$: $b^3 - b^5 = b^3(1 - b^2)$
Получаем дробь: $\frac{b^4(b^2 - 1)}{b^3(1 - b^2)}$
Сократим $b^4$ и $b^3$: $\frac{b^4}{b^3}=b$.
Заметим, что $b^2 - 1 = -(1 - b^2)$.
$\frac{b(b^2 - 1)}{1 - b^2} = \frac{b \cdot (-(1 - b^2))}{1 - b^2} = \frac{-b\cancel{(1 - b^2)}}{\cancel{1 - b^2}} = -b$
Ответ: $-b$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{4p^2 + 28pq + 49q^2}{49q^2 - 4p^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4p^2 + 28pq + 49q^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$4p^2 + 28pq + 49q^2 = (2p)^2 + 2(2p)(7q) + (7q)^2 = (2p + 7q)^2$
Знаменатель $49q^2 - 4p^2$ является разностью квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$49q^2 - 4p^2 = (7q)^2 - (2p)^2 = (7q - 2p)(7q + 2p)$
Получаем дробь: $\frac{(2p + 7q)^2}{(7q - 2p)(7q + 2p)}$
Так как $2p+7q = 7q+2p$, сокращаем общий множитель:
$\frac{(2p + 7q)\cancel{(2p + 7q)}}{(7q - 2p)\cancel{(7q + 2p)}} = \frac{2p + 7q}{7q - 2p}$
Ответ: $\frac{2p + 7q}{7q - 2p}$

7) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 27}{9a - 27}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^3 - 27$ является разностью кубов $a^3 - 3^3$, которая раскладывается по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$
В знаменателе вынесем общий множитель 9: $9a - 27 = 9(a - 3)$
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{9(a - 3)}$
Сокращаем общий множитель $(a - 3)$:
$\frac{\cancel{(a - 3)}(a^2 + 3a + 9)}{9\cancel{(a - 3)}} = \frac{a^2 + 3a + 9}{9}$
Ответ: $\frac{a^2 + 3a + 9}{9}$

8) Чтобы сократить дробь $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе применим метод группировки:
$ax - ay - 3x + 3y = (ax - ay) + (-3x + 3y) = a(x - y) - 3(x - y) = (a - 3)(x - y)$
Знаменатель $9 - a^2$ — это разность квадратов: $9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$
Заметим, что $a - 3 = -(3 - a)$. Заменим выражение в числителе:
$\frac{-(3 - a)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$
Сокращаем общий множитель $(3 - a)$:
$\frac{-\cancel{(3 - a)}(x - y)}{\cancel{(3 - a)}(3 + a)} = \frac{-(x - y)}{3 + a} = \frac{y - x}{a + 3}$
Ответ: $\frac{y - x}{a + 3}$

9) Чтобы сократить дробь $\frac{7a^2 + 7a + 7}{14a^3 - 14}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем 7 за скобки: $7(a^2 + a + 1)$
В знаменателе вынесем 14 за скобки: $14(a^3 - 1)$. Теперь разложим $a^3 - 1$ как разность кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$
Знаменатель равен $14(a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Получаем дробь: $\frac{7(a^2 + a + 1)}{14(a - 1)(a^2 + a + 1)}$
Сокращаем общий множитель $(a^2 + a + 1)$ и числа 7 и 14:
$\frac{\cancel{7}\cancel{(a^2 + a + 1)}}{\cancel{14}_2(a - 1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{2(a - 1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(a - 1)}$

10) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 9x + 14}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x - 7)$
Знаменатель $x^2 - 9x + 14$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение 14. Это числа 2 и 7.
Значит, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.
Получаем дробь: $\frac{x(x - 7)}{(x - 2)(x - 7)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 7)$:
$\frac{x\cancel{(x - 7)}}{(x - 2)\cancel{(x - 7)}} = \frac{x}{x - 2}$
Ответ: $\frac{x}{x - 2}$

11) Чтобы сократить дробь $\frac{2a^2 + 9a - 18}{4a^2 - 9}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель $2a^2 + 9a - 18$. Найдем корни уравнения $2a^2 + 9a - 18 = 0$ через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
$a_1 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
$a_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Тогда $2a^2 + 9a - 18 = 2(a - (-6))(a - \frac{3}{2}) = 2(a + 6)(a - \frac{3}{2}) = (a + 6)(2a - 3)$.
Знаменатель $4a^2 - 9$ — это разность квадратов $(2a)^2 - 3^2$:
$4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$
Получаем дробь: $\frac{(a + 6)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)}$
Сокращаем общий множитель $(2a - 3)$:
$\frac{(a + 6)\cancel{(2a - 3)}}{\cancel{(2a - 3)}(2a + 3)} = \frac{a + 6}{2a + 3}$
Ответ: $\frac{a + 6}{2a + 3}$

12) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 64}{32 + 4x - x^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 64$ — это разность квадратов $x^2 - 8^2$:
$x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$
Разложим знаменатель $32 + 4x - x^2$. Вынесем -1 за скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:
$32 + 4x - x^2 = -(x^2 - 4x - 32)$
Найдем корни для $x^2 - 4x - 32$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -32. Это числа 8 и -4.
Значит, $x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x - (-4)) = (x - 8)(x + 4)$.
Тогда знаменатель равен $-(x - 8)(x + 4)$.
Получаем дробь: $\frac{(x - 8)(x + 8)}{-(x - 8)(x + 4)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 8)$:
$\frac{\cancel{(x - 8)}(x + 8)}{-\cancel{(x - 8)}(x + 4)} = \frac{x + 8}{-(x + 4)} = -\frac{x + 8}{x + 4}$
Ответ: $-\frac{x + 8}{x + 4}$

149. Упростите выражение:

1) $\frac{2a+5b}{ab} - \frac{2a-b}{ab};$

2) $\frac{x^2+8x}{4-x^2} - \frac{4x-4}{4-x^2};$

3) $\frac{5x+6}{5-x} + \frac{3x+16}{x-5};$

4) $\frac{36-10x}{(x-6)^2} - \frac{2x-x^2}{(6-x)^2}.$

1) Исходное выражение: $ \frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - b}{ab} $. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель прежним. $ \frac{2a + 5b - (2a - b)}{ab} $ Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее. $ \frac{2a + 5b - 2a + b}{ab} $ Приведем подобные слагаемые в числителе: $ (2a - 2a) + (5b + b) = 6b $. $ \frac{6b}{ab} $ Сократим дробь на $ b $ (при условии, что $ b \ne 0 $). $ \frac{6}{a} $
Ответ: $ \frac{6}{a} $

2) Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 8x}{4 - x^2} - \frac{4x - 4}{4 - x^2} $. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. $ \frac{(x^2 + 8x) - (4x - 4)}{4 - x^2} $ Раскроем скобки в числителе. $ \frac{x^2 + 8x - 4x + 4}{4 - x^2} $ Приведем подобные слагаемые в числителе: $ x^2 + (8x - 4x) + 4 = x^2 + 4x + 4 $. $ \frac{x^2 + 4x + 4}{4 - x^2} $ Числитель является полным квадратом: $ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $. Знаменатель является разностью квадратов: $ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $. $ \frac{(x + 2)^2}{(2 - x)(2 + x)} $ Сократим дробь на общий множитель $ (x + 2) $ (при условии, что $ x \ne -2 $). $ \frac{x + 2}{2 - x} $
Ответ: $ \frac{x + 2}{2 - x} $

3) Исходное выражение: $ \frac{5x + 6}{5 - x} + \frac{3x + 16}{x - 5} $. Знаменатели $ 5 - x $ и $ x - 5 $ являются противоположными выражениями, так как $ x - 5 = -(5 - x) $. Приведем вторую дробь к знаменателю $ 5 - x $, изменив знак перед дробью и в знаменателе. $ \frac{5x + 6}{5 - x} + \frac{3x + 16}{-(5 - x)} = \frac{5x + 6}{5 - x} - \frac{3x + 16}{5 - x} $ Теперь знаменатели одинаковы, и мы можем вычесть числители. $ \frac{(5x + 6) - (3x + 16)}{5 - x} $ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе. $ \frac{5x + 6 - 3x - 16}{5 - x} = \frac{(5x - 3x) + (6 - 16)}{5 - x} = \frac{2x - 10}{5 - x} $ Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки. $ \frac{2(x - 5)}{5 - x} $ Так как $ x - 5 = -(5 - x) $, заменим числитель. $ \frac{2 \cdot (-(5 - x))}{5 - x} $ Сократим дробь на $ (5 - x) $ (при условии, что $ x \ne 5 $). $ -2 $
Ответ: $ -2 $

4) Исходное выражение: $ \frac{36 - 10x}{(x - 6)^2} - \frac{2x - x^2}{(6 - x)^2} $. Рассмотрим знаменатели. Так как квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа, то $ (6 - x)^2 = (-(x - 6))^2 = (x - 6)^2 $. Знаменатели дробей равны. Выполним вычитание числителей. $ \frac{(36 - 10x) - (2x - x^2)}{(x - 6)^2} $ Раскроем скобки в числителе. $ \frac{36 - 10x - 2x + x^2}{(x - 6)^2} $ Приведем подобные слагаемые и запишем числитель в стандартном виде. $ \frac{x^2 - 12x + 36}{(x - 6)^2} $ Числитель является полным квадратом: $ x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 $. $ \frac{(x - 6)^2}{(x - 6)^2} $ При условии, что $ x \ne 6 $, выражение равно 1.
Ответ: $ 1 $

150. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{5n^2 + 3n + 10}{n}$;

2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 32}{n^2}$;

3) $\frac{12n + 11}{3n - 2}$.

1) Чтобы значение выражения $\frac{5n^2 + 3n + 10}{n}$ было целым числом, преобразуем его, разделив каждый член числителя на знаменатель: $\frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{10}{n} = 5n + 3 + \frac{10}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $5n + 3$ всегда является целым. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 10. Натуральные делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Все эти значения являются натуральными числами и подходят.
Ответ: 1, 2, 5, 10.

2) Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель: $\frac{n^3 - 6n^2 + 32}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2} + \frac{32}{n^2} = n - 6 + \frac{32}{n^2}$. Так как $n$ — натуральное число, то $n - 6$ является целым числом. Значит, для целочисленности всего выражения необходимо, чтобы $\frac{32}{n^2}$ было целым числом. Это означает, что $n^2$ должен быть натуральным делителем числа 32. Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Из этих делителей нужно выбрать те, которые являются полными квадратами натуральных чисел. Это $1=1^2$, $4=2^2$ и $16=4^2$. Отсюда получаем возможные значения для $n$: 1, 2, 4.
Ответ: 1, 2, 4.

3) Для того чтобы найти целые значения выражения $\frac{12n + 11}{3n - 2}$, выделим в нем целую часть. Для этого преобразуем числитель так, чтобы он содержал знаменатель: $12n + 11 = 4(3n) + 11 = 4(3n - 2) + 8 + 11 = 4(3n - 2) + 19$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{4(3n - 2) + 19}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2)}{3n - 2} + \frac{19}{3n - 2} = 4 + \frac{19}{3n - 2}$. Выражение будет целым, если дробь $\frac{19}{3n - 2}$ является целым числом. Это произойдет, если знаменатель $3n - 2$ является делителем числа 19. Так как 19 — простое число, его делители: 1, -1, 19, -19. Рассмотрим каждый случай:
1. $3n - 2 = 1 \implies 3n = 3 \implies n = 1$. Это натуральное число.
2. $3n - 2 = -1 \implies 3n = 1 \implies n = \frac{1}{3}$. Не является натуральным числом.
3. $3n - 2 = 19 \implies 3n = 21 \implies n = 7$. Это натуральное число.
4. $3n - 2 = -19 \implies 3n = -17 \implies n = -\frac{17}{3}$. Не является натуральным числом.Таким образом, подходят только два натуральных значения $n$.
Ответ: 1, 7.

151. Упростите выражение:

1) $\frac{4n + 5m}{m} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$;

2) $\frac{a + 2}{3a - 3} + \frac{3 - a}{5a - 5}$;

3) $\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{x - 1}{x - 5}$;

4) $\frac{4b}{3b - 24} + \frac{3b}{16 - 2b}$;

5) $\frac{3p}{3p + q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 6pq + q^2}$;

6) $\frac{4}{m^2 - 36} - \frac{2}{m^2 - 6m}$;

7) $8 - \frac{3a + 8c}{c}$;

8) $\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + m - 4n$;

9) $x - \frac{49}{x - 7} - 7$.

1) $\frac{4n + 5m}{m} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m$ и $mn$ — это $mn$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $n$:
$\frac{(4n + 5m) \cdot n}{m \cdot n} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn} = \frac{4n^2 + 5mn}{mn} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{4n^2 + 5mn - (6n^2 + 5m^2)}{mn} = \frac{4n^2 + 5mn - 6n^2 - 5m^2}{mn}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(4n^2 - 6n^2) + 5mn - 5m^2}{mn} = \frac{-2n^2 + 5mn - 5m^2}{mn}$
Ответ: $\frac{-2n^2 + 5mn - 5m^2}{mn}$

2) $\frac{a + 2}{3a - 3} + \frac{3 - a}{5a - 5}$
Сначала разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$3a - 3 = 3(a - 1)$
$5a - 5 = 5(a - 1)$
Наименьший общий знаменатель равен $3 \cdot 5 \cdot (a - 1) = 15(a - 1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 5, для второй — 3:
$\frac{(a + 2) \cdot 5}{3(a - 1) \cdot 5} + \frac{(3 - a) \cdot 3}{5(a - 1) \cdot 3} = \frac{5a + 10}{15(a - 1)} + \frac{9 - 3a}{15(a - 1)}$
Сложим числители:
$\frac{5a + 10 + 9 - 3a}{15(a - 1)} = \frac{(5a - 3a) + (10 + 9)}{15(a - 1)} = \frac{2a + 19}{15(a - 1)}$
Ответ: $\frac{2a + 19}{15(a - 1)}$

3) $\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{x - 1}{x - 5}$
Общим знаменателем является произведение знаменателей: $(x + 5)(x - 5)$, что равно $x^2 - 25$.
Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{(x - 5)(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} - \frac{(x - 1)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}$
Раскроем скобки в числителях. В первом числителе — квадрат разности, во втором — произведение многочленов:
$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$
$(x - 1)(x + 5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$
Подставим полученные выражения и выполним вычитание:
$\frac{(x^2 - 10x + 25) - (x^2 + 4x - 5)}{x^2 - 25} = \frac{x^2 - 10x + 25 - x^2 - 4x + 5}{x^2 - 25}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(-10x - 4x) + (25 + 5)}{x^2 - 25} = \frac{-14x + 30}{x^2 - 25}$
Ответ: $\frac{30 - 14x}{x^2 - 25}$

4) $\frac{4b}{3b - 24} + \frac{3b}{16 - 2b}$
Разложим знаменатели на множители:
$3b - 24 = 3(b - 8)$
$16 - 2b = 2(8 - b) = -2(b - 8)$
Перепишем выражение, вынеся минус из второго знаменателя перед дробью:
$\frac{4b}{3(b - 8)} - \frac{3b}{2(b - 8)}$
Общий знаменатель равен $6(b - 8)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{4b \cdot 2}{3(b - 8) \cdot 2} - \frac{3b \cdot 3}{2(b - 8) \cdot 3} = \frac{8b}{6(b - 8)} - \frac{9b}{6(b - 8)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{8b - 9b}{6(b - 8)} = \frac{-b}{6(b - 8)}$
Ответ: $\frac{-b}{6(b - 8)}$

5) $\frac{3p}{3p + q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 6pq + q^2}$
Заметим, что второй знаменатель является полным квадратом суммы:
$9p^2 + 6pq + q^2 = (3p)^2 + 2(3p)(q) + q^2 = (3p + q)^2$
Таким образом, общий знаменатель — это $(3p + q)^2$.
Домножим первую дробь на недостающий множитель $(3p + q)$:
$\frac{3p(3p + q)}{(3p + q)(3p + q)} - \frac{9p^2}{(3p + q)^2} = \frac{9p^2 + 3pq}{(3p + q)^2} - \frac{9p^2}{(3p + q)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{9p^2 + 3pq - 9p^2}{(3p + q)^2} = \frac{3pq}{(3p + q)^2}$
Ответ: $\frac{3pq}{(3p + q)^2}$

6) $\frac{4}{m^2 - 36} - \frac{2}{m^2 - 6m}$
Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:
$m^2 - 36 = (m - 6)(m + 6)$
$m^2 - 6m = m(m - 6)$
Общий знаменатель — $m(m - 6)(m + 6)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 \cdot m}{m(m - 6)(m + 6)} - \frac{2 \cdot (m + 6)}{m(m - 6)(m + 6)}$
Выполним вычитание:
$\frac{4m - 2(m + 6)}{m(m - 6)(m + 6)} = \frac{4m - 2m - 12}{m(m - 6)(m + 6)}$
Упростим числитель:
$\frac{2m - 12}{m(m - 6)(m + 6)} = \frac{2(m - 6)}{m(m - 6)(m + 6)}$
Сократим дробь на общий множитель $(m - 6)$:
$\frac{2}{m(m + 6)}$
Ответ: $\frac{2}{m(m + 6)}$

7) $8 - \frac{3a + 8c}{c}$
Представим число 8 в виде дроби со знаменателем $c$:
$8 = \frac{8c}{c}$
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{8c}{c} - \frac{3a + 8c}{c} = \frac{8c - (3a + 8c)}{c}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{8c - 3a - 8c}{c} = \frac{-3a}{c}$
Ответ: $-\frac{3a}{c}$

8) $\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + m - 4n$
Чтобы сложить выражения, приведем их к общему знаменателю $(m + 4n)$.
$\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + \frac{(m - 4n)(m + 4n)}{m + 4n}$
В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов: $(m - 4n)(m + 4n) = m^2 - (4n)^2 = m^2 - 16n^2$.
Сложим дроби:
$\frac{m^2 - n^2 + (m^2 - 16n^2)}{m + 4n}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(m^2 + m^2) + (-n^2 - 16n^2)}{m + 4n} = \frac{2m^2 - 17n^2}{m + 4n}$
Ответ: $\frac{2m^2 - 17n^2}{m + 4n}$

9) $x - \frac{49}{x - 7} - 7$
Сгруппируем целые слагаемые:
$(x - 7) - \frac{49}{x - 7}$
Приведем к общему знаменателю $(x - 7)$:
$\frac{(x - 7)(x - 7)}{x - 7} - \frac{49}{x - 7} = \frac{(x - 7)^2 - 49}{x - 7}$
Раскроем квадрат разности в числителе:
$\frac{x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 - 49}{x - 7} = \frac{x^2 - 14x + 49 - 49}{x - 7}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - 14x}{x - 7}$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$\frac{x(x - 14)}{x - 7}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{x(x - 14)}{x - 7}$