Номер 148, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 148, страница 223.

Учебник.

148. Сократите дробь:

1) $\frac{4a + 12b}{4a}$;

2) $\frac{7x - 14y}{3x - 6y}$;

3) $\frac{x^2 - 25}{2x + 10}$;

4) $\frac{6y^2 - 3y}{4 - 8y}$;

5) $\frac{b^6 - b^4}{b^3 - b^5}$;

6) $\frac{4p^2 + 28pq + 49q^2}{49q^2 - 4p^2}$;

7) $\frac{a^3 - 27}{9a - 27}$;

8) $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$;

9) $\frac{7a^2 + 7a + 7}{14a^3 - 14}$;

10) $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 9x + 14}$;

11) $\frac{2a^2 + 9a - 18}{4a^2 - 9}$;

12) $\frac{x^2 - 64}{32 + 4x - x^2}$;

Решение 2.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4a + 12b}{4a}$, вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:
$4a + 12b = 4(a + 3b)$
Получаем дробь:
$\frac{4(a + 3b)}{4a}$
Сокращаем общий множитель 4 в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{4}(a + 3b)}{\cancel{4}a} = \frac{a + 3b}{a}$
Ответ: $\frac{a + 3b}{a}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{7x - 14y}{3x - 6y}$, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 7: $7x - 14y = 7(x - 2y)$
В знаменателе общий множитель 3: $3x - 6y = 3(x - 2y)$
Получаем дробь:
$\frac{7(x - 2y)}{3(x - 2y)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 2y)$:
$\frac{7\cancel{(x - 2y)}}{3\cancel{(x - 2y)}} = \frac{7}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 25}{2x + 10}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 25$ — это разность квадратов $x^2 - 5^2$, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x + 10 = 2(x + 5)$
Получаем дробь:
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$
Сокращаем общий множитель $(x + 5)$:
$\frac{(x - 5)\cancel{(x + 5)}}{2\cancel{(x + 5)}} = \frac{x - 5}{2}$
Ответ: $\frac{x - 5}{2}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{6y^2 - 3y}{4 - 8y}$, вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем $3y$: $6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$
В знаменателе вынесем 4: $4 - 8y = 4(1 - 2y)$
Получаем дробь: $\frac{3y(2y - 1)}{4(1 - 2y)}$
Заметим, что $2y - 1 = -(1 - 2y)$. Заменим выражение в числителе:
$\frac{3y \cdot (-(1 - 2y))}{4(1 - 2y)} = \frac{-3y(1 - 2y)}{4(1 - 2y)}$
Сокращаем общий множитель $(1 - 2y)$:
$\frac{-3y\cancel{(1 - 2y)}}{4\cancel{(1 - 2y)}} = -\frac{3y}{4}$
Ответ: $-\frac{3y}{4}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{b^6 - b^4}{b^3 - b^5}$, вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем $b^4$: $b^6 - b^4 = b^4(b^2 - 1)$
В знаменателе вынесем $b^3$: $b^3 - b^5 = b^3(1 - b^2)$
Получаем дробь: $\frac{b^4(b^2 - 1)}{b^3(1 - b^2)}$
Сократим $b^4$ и $b^3$: $\frac{b^4}{b^3}=b$.
Заметим, что $b^2 - 1 = -(1 - b^2)$.
$\frac{b(b^2 - 1)}{1 - b^2} = \frac{b \cdot (-(1 - b^2))}{1 - b^2} = \frac{-b\cancel{(1 - b^2)}}{\cancel{1 - b^2}} = -b$
Ответ: $-b$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{4p^2 + 28pq + 49q^2}{49q^2 - 4p^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4p^2 + 28pq + 49q^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$4p^2 + 28pq + 49q^2 = (2p)^2 + 2(2p)(7q) + (7q)^2 = (2p + 7q)^2$
Знаменатель $49q^2 - 4p^2$ является разностью квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$49q^2 - 4p^2 = (7q)^2 - (2p)^2 = (7q - 2p)(7q + 2p)$
Получаем дробь: $\frac{(2p + 7q)^2}{(7q - 2p)(7q + 2p)}$
Так как $2p+7q = 7q+2p$, сокращаем общий множитель:
$\frac{(2p + 7q)\cancel{(2p + 7q)}}{(7q - 2p)\cancel{(7q + 2p)}} = \frac{2p + 7q}{7q - 2p}$
Ответ: $\frac{2p + 7q}{7q - 2p}$

7) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 27}{9a - 27}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^3 - 27$ является разностью кубов $a^3 - 3^3$, которая раскладывается по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$
В знаменателе вынесем общий множитель 9: $9a - 27 = 9(a - 3)$
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{9(a - 3)}$
Сокращаем общий множитель $(a - 3)$:
$\frac{\cancel{(a - 3)}(a^2 + 3a + 9)}{9\cancel{(a - 3)}} = \frac{a^2 + 3a + 9}{9}$
Ответ: $\frac{a^2 + 3a + 9}{9}$

8) Чтобы сократить дробь $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе применим метод группировки:
$ax - ay - 3x + 3y = (ax - ay) + (-3x + 3y) = a(x - y) - 3(x - y) = (a - 3)(x - y)$
Знаменатель $9 - a^2$ — это разность квадратов: $9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$
Заметим, что $a - 3 = -(3 - a)$. Заменим выражение в числителе:
$\frac{-(3 - a)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$
Сокращаем общий множитель $(3 - a)$:
$\frac{-\cancel{(3 - a)}(x - y)}{\cancel{(3 - a)}(3 + a)} = \frac{-(x - y)}{3 + a} = \frac{y - x}{a + 3}$
Ответ: $\frac{y - x}{a + 3}$

9) Чтобы сократить дробь $\frac{7a^2 + 7a + 7}{14a^3 - 14}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем 7 за скобки: $7(a^2 + a + 1)$
В знаменателе вынесем 14 за скобки: $14(a^3 - 1)$. Теперь разложим $a^3 - 1$ как разность кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$
Знаменатель равен $14(a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Получаем дробь: $\frac{7(a^2 + a + 1)}{14(a - 1)(a^2 + a + 1)}$
Сокращаем общий множитель $(a^2 + a + 1)$ и числа 7 и 14:
$\frac{\cancel{7}\cancel{(a^2 + a + 1)}}{\cancel{14}_2(a - 1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{2(a - 1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(a - 1)}$

10) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 9x + 14}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x - 7)$
Знаменатель $x^2 - 9x + 14$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение 14. Это числа 2 и 7.
Значит, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.
Получаем дробь: $\frac{x(x - 7)}{(x - 2)(x - 7)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 7)$:
$\frac{x\cancel{(x - 7)}}{(x - 2)\cancel{(x - 7)}} = \frac{x}{x - 2}$
Ответ: $\frac{x}{x - 2}$

11) Чтобы сократить дробь $\frac{2a^2 + 9a - 18}{4a^2 - 9}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель $2a^2 + 9a - 18$. Найдем корни уравнения $2a^2 + 9a - 18 = 0$ через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
$a_1 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
$a_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Тогда $2a^2 + 9a - 18 = 2(a - (-6))(a - \frac{3}{2}) = 2(a + 6)(a - \frac{3}{2}) = (a + 6)(2a - 3)$.
Знаменатель $4a^2 - 9$ — это разность квадратов $(2a)^2 - 3^2$:
$4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$
Получаем дробь: $\frac{(a + 6)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)}$
Сокращаем общий множитель $(2a - 3)$:
$\frac{(a + 6)\cancel{(2a - 3)}}{\cancel{(2a - 3)}(2a + 3)} = \frac{a + 6}{2a + 3}$
Ответ: $\frac{a + 6}{2a + 3}$

12) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 64}{32 + 4x - x^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 64$ — это разность квадратов $x^2 - 8^2$:
$x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$
Разложим знаменатель $32 + 4x - x^2$. Вынесем -1 за скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:
$32 + 4x - x^2 = -(x^2 - 4x - 32)$
Найдем корни для $x^2 - 4x - 32$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -32. Это числа 8 и -4.
Значит, $x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x - (-4)) = (x - 8)(x + 4)$.
Тогда знаменатель равен $-(x - 8)(x + 4)$.
Получаем дробь: $\frac{(x - 8)(x + 8)}{-(x - 8)(x + 4)}$
Сокращаем общий множитель $(x - 8)$:
$\frac{\cancel{(x - 8)}(x + 8)}{-\cancel{(x - 8)}(x + 4)} = \frac{x + 8}{-(x + 4)} = -\frac{x + 8}{x + 4}$
Ответ: $-\frac{x + 8}{x + 4}$