Номер 145, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 145, страница 223.

Учебник.

145. При некоторых значениях $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 - x_2 = 7$, $x_1x_2 = 4$. Найдите при этих же значениях $x_1$ и $x_2$ значение выражения:

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 + x_2)^2$;

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Решение 2.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать данные из условия: $x_1 - x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 4$.

1) $x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2$;

В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1 x_2$. Получим:
$x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 - x_1)$.
Из условия известно, что $x_1 - x_2 = 7$. Тогда $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2) = -7$.
Теперь подставим известные значения в полученное выражение:
$x_1 x_2 (x_2 - x_1) = 4 \cdot (-7) = -28$.
Ответ: -28.

2) $x_1^2 + x_2^2$;

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выразим из нее сумму квадратов: $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.
Применим эту формулу для наших переменных:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + 2x_1 x_2$.
Подставим известные значения из условия:
$(x_1 - x_2)^2 + 2x_1 x_2 = 7^2 + 2 \cdot 4 = 49 + 8 = 57$.
Ответ: 57.

3) $(x_1 + x_2)^2$;

Воспользуемся тождеством, которое связывает квадрат суммы и квадрат разности: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$.
Применим это тождество для наших переменных:
$(x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2$.
Подставим известные значения:
$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2 = 7^2 + 4 \cdot 4 = 49 + 16 = 65$.
Ответ: 65.

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в пункте 2, оно равно 57.
Преобразуем выражение:
$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 - x_2)((x_1^2 + x_2^2) + x_1 x_2)$.
Подставим все известные значения:
$7 \cdot (57 + 4) = 7 \cdot 61 = 427$.
Ответ: 427.