Номер 139, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 139, страница 222.

139. Замените звёздочки одночленами так, чтобы образовалось тождество:

1) $(x+3)(*+5) = 4x^2 + * + *;$

2) $(x-3)(x+*) = * + * - 18.$

1)

Рассмотрим тождество $(x + 3)(* + 5) = 4x^2 + * + *$.

Обозначим первый неизвестный одночлен в левой части (в скобках) как $A$. Тогда левая часть примет вид $(x+3)(A+5)$.

Раскроем скобки в левой части выражения, используя дистрибутивное свойство:

$(x+3)(A+5) = x \cdot A + x \cdot 5 + 3 \cdot A + 3 \cdot 5 = xA + 5x + 3A + 15$.

Правая часть тождества, $4x^2 + * + *$, является многочленом. Самый старший член этого многочлена — $4x^2$. В левой части член с $x^2$ может получиться только в результате умножения $x$ из первой скобки на одночлен $A$ из второй скобки (если $A$ содержит $x$).

Приравняем члены с наивысшей степенью $x$ из обеих частей:

$xA = 4x^2$

Чтобы найти $A$, разделим обе части этого равенства на $x$:

$A = \frac{4x^2}{x} = 4x$.

Итак, первая звёздочка — это одночлен $4x$.

Теперь подставим найденный одночлен в исходное выражение и раскроем скобки в левой части:

$(x+3)(4x+5) = x \cdot 4x + x \cdot 5 + 3 \cdot 4x + 3 \cdot 5 = 4x^2 + 5x + 12x + 15$.

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$4x^2 + (5x + 12x) + 15 = 4x^2 + 17x + 15$.

Теперь мы можем сравнить это выражение с правой частью исходного тождества $4x^2 + * + *$. Отсюда видно, что две оставшиеся звёздочки нужно заменить одночленами $17x$ и $15$.

Ответ: $(x+3)(4x+5) = 4x^2+17x+15$.

2)

Рассмотрим тождество $(x - 3)(x + *) = * + * - 18$.

Обозначим неизвестный одночлен в левой части (в скобках) как $A$. Тогда левая часть примет вид $(x-3)(x+A)$.

Раскроем скобки в левой части:

$(x-3)(x+A) = x \cdot x + x \cdot A - 3 \cdot x - 3 \cdot A = x^2 + Ax - 3x - 3A$.

Сгруппируем подобные члены: $x^2 + (A-3)x - 3A$.

Теперь сравним левую и правую части тождества: $x^2 + (A-3)x - 3A = * + * - 18$.

Свободный член (не содержащий $x$) в правой части равен $-18$. В левой части свободный член равен $-3A$. Для того чтобы равенство было тождеством, свободные члены в обеих частях должны быть равны.

$-3A = -18$

Разделим обе части на $-3$, чтобы найти $A$:

$A = \frac{-18}{-3} = 6$.

Таким образом, звёздочка в скобках — это число $6$.

Подставим это значение в левую часть и выполним умножение:

$(x-3)(x+6) = x \cdot x + x \cdot 6 - 3 \cdot x - 3 \cdot 6 = x^2 + 6x - 3x - 18$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (6x - 3x) - 18 = x^2 + 3x - 18$.

Сравнивая полученный результат $x^2 + 3x - 18$ с правой частью исходного тождества $* + * - 18$, мы заключаем, что две звёздочки в правой части соответствуют одночленам $x^2$ и $3x$.

Ответ: $(x-3)(x+6) = x^2+3x-18$.