Номер 144, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 144, страница 223.

Учебник.

144. Числа $x$ и $y$ таковы, что $x^3 - y^2 = 2$. Найдите значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Решение 2.

Нам дано, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству $x^3 - y^2 = 2$. Необходимо найти значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Для решения задачи воспользуемся методом подстановки. Выразим $x^3$ из данного равенства:
$x^3 = y^2 + 2$.

Теперь подставим это выражение в искомое выражение $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.
Заметим, что $x^9$ можно представить как $(x^3)^3$. Таким образом, мы можем заменить все вхождения $x^3$ на $y^2 + 2$:
$(x^3)^3 - 6(x^3)y^2 - y^6 = (y^2 + 2)^3 - 6(y^2 + 2)y^2 - y^6$.

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение.
Сначала воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия $(y^2 + 2)^3$:
$(y^2 + 2)^3 = (y^2)^3 + 3 \cdot (y^2)^2 \cdot 2 + 3 \cdot y^2 \cdot 2^2 + 2^3 = y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8$.

Далее раскроем второе слагаемое:
$-6(y^2 + 2)y^2 = -6y^4 - 12y^2$.

Теперь соберем все части выражения вместе:
$(y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8) + (-6y^4 - 12y^2) - y^6$.

Приведем подобные слагаемые, чтобы найти окончательное значение:
$y^6 + 6y^4 + 12y^2 + 8 - 6y^4 - 12y^2 - y^6 = (y^6 - y^6) + (6y^4 - 6y^4) + (12y^2 - 12y^2) + 8$.
Все члены, содержащие $y$, взаимно уничтожаются:
$0 + 0 + 0 + 8 = 8$.

Таким образом, значение исходного выражения равно 8.

Ответ: 8