Номер 143, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 143, страница 223.

Учебник.

143. Числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 + y^2 = 1$. Найдите значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Решение 2.

Для нахождения значения выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$ при условии, что $x^2 + y^2 = 1$, преобразуем искомое выражение. Сначала сгруппируем первый и последний члены: $(x^6 + y^6) + 3x^2y^2$.

Выражение в скобках, $x^6 + y^6$, можно представить как сумму кубов, поскольку $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где в нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Применяя формулу, получаем:
$x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

По условию задачи, $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в полученное равенство:
$x^6 + y^6 = 1 \cdot (x^4 - x^2y^2 + y^4) = x^4 - x^2y^2 + y^4$.

Теперь подставим это упрощенное выражение для $x^6 + y^6$ обратно в исходное выражение:
$(x^4 - x^2y^2 + y^4) + 3x^2y^2$.

Приведя подобные слагаемые, получим:
$x^4 - x^2y^2 + 3x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

Полученное выражение $x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ является полным квадратом суммы. Его можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$.

Наконец, вновь используем данное в условии равенство $x^2 + y^2 = 1$:
$(x^2 + y^2)^2 = 1^2 = 1$.

Таким образом, значение искомого выражения равно 1.

Ответ: 1