Номер 149, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 149, страница 223.

149. Упростите выражение:

1) $\frac{2a+5b}{ab} - \frac{2a-b}{ab};$

2) $\frac{x^2+8x}{4-x^2} - \frac{4x-4}{4-x^2};$

3) $\frac{5x+6}{5-x} + \frac{3x+16}{x-5};$

4) $\frac{36-10x}{(x-6)^2} - \frac{2x-x^2}{(6-x)^2}.$

1) Исходное выражение: $ \frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - b}{ab} $. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель прежним. $ \frac{2a + 5b - (2a - b)}{ab} $ Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее. $ \frac{2a + 5b - 2a + b}{ab} $ Приведем подобные слагаемые в числителе: $ (2a - 2a) + (5b + b) = 6b $. $ \frac{6b}{ab} $ Сократим дробь на $ b $ (при условии, что $ b \ne 0 $). $ \frac{6}{a} $
Ответ: $ \frac{6}{a} $

2) Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 8x}{4 - x^2} - \frac{4x - 4}{4 - x^2} $. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. $ \frac{(x^2 + 8x) - (4x - 4)}{4 - x^2} $ Раскроем скобки в числителе. $ \frac{x^2 + 8x - 4x + 4}{4 - x^2} $ Приведем подобные слагаемые в числителе: $ x^2 + (8x - 4x) + 4 = x^2 + 4x + 4 $. $ \frac{x^2 + 4x + 4}{4 - x^2} $ Числитель является полным квадратом: $ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $. Знаменатель является разностью квадратов: $ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $. $ \frac{(x + 2)^2}{(2 - x)(2 + x)} $ Сократим дробь на общий множитель $ (x + 2) $ (при условии, что $ x \ne -2 $). $ \frac{x + 2}{2 - x} $
Ответ: $ \frac{x + 2}{2 - x} $

3) Исходное выражение: $ \frac{5x + 6}{5 - x} + \frac{3x + 16}{x - 5} $. Знаменатели $ 5 - x $ и $ x - 5 $ являются противоположными выражениями, так как $ x - 5 = -(5 - x) $. Приведем вторую дробь к знаменателю $ 5 - x $, изменив знак перед дробью и в знаменателе. $ \frac{5x + 6}{5 - x} + \frac{3x + 16}{-(5 - x)} = \frac{5x + 6}{5 - x} - \frac{3x + 16}{5 - x} $ Теперь знаменатели одинаковы, и мы можем вычесть числители. $ \frac{(5x + 6) - (3x + 16)}{5 - x} $ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе. $ \frac{5x + 6 - 3x - 16}{5 - x} = \frac{(5x - 3x) + (6 - 16)}{5 - x} = \frac{2x - 10}{5 - x} $ Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки. $ \frac{2(x - 5)}{5 - x} $ Так как $ x - 5 = -(5 - x) $, заменим числитель. $ \frac{2 \cdot (-(5 - x))}{5 - x} $ Сократим дробь на $ (5 - x) $ (при условии, что $ x \ne 5 $). $ -2 $
Ответ: $ -2 $

4) Исходное выражение: $ \frac{36 - 10x}{(x - 6)^2} - \frac{2x - x^2}{(6 - x)^2} $. Рассмотрим знаменатели. Так как квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа, то $ (6 - x)^2 = (-(x - 6))^2 = (x - 6)^2 $. Знаменатели дробей равны. Выполним вычитание числителей. $ \frac{(36 - 10x) - (2x - x^2)}{(x - 6)^2} $ Раскроем скобки в числителе. $ \frac{36 - 10x - 2x + x^2}{(x - 6)^2} $ Приведем подобные слагаемые и запишем числитель в стандартном виде. $ \frac{x^2 - 12x + 36}{(x - 6)^2} $ Числитель является полным квадратом: $ x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 $. $ \frac{(x - 6)^2}{(x - 6)^2} $ При условии, что $ x \ne 6 $, выражение равно 1.
Ответ: $ 1 $