Номер 155, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 155, страница 224.

Учебник.

155. Найдите частное:

1) $\frac{14}{a^2} : \frac{28}{a^6}$;

2) $\frac{b^5}{6} : \frac{b^3}{48}$;

3) $\frac{45}{m^8} : \frac{36}{m^7n^2}$;

4) $\frac{6x^7}{y^8} : (36x^7y^2)$;

5) $35m^4 : \frac{21m^3}{n^2}$;

6) $\frac{16a^3b^8}{33c^5} : \left(-\frac{12a^2}{55c^6}\right)$.

Решение 2.

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{14}{a^2} : \frac{28}{a^6} = \frac{14}{a^2} \cdot \frac{a^6}{28} = \frac{14a^6}{28a^2} $

Сокращаем числовые коэффициенты (14 и 28 на 14) и степени с одинаковым основанием (используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ \frac{14a^6}{28a^2} = \frac{1 \cdot a^{6-2}}{2} = \frac{a^4}{2} $

Ответ: $ \frac{a^4}{2} $

2) Применяем правило деления дробей:

$ \frac{b^5}{6} : \frac{b^3}{48} = \frac{b^5}{6} \cdot \frac{48}{b^3} = \frac{48b^5}{6b^3} $

Сокращаем числовые коэффициенты (48 и 6 на 6) и переменные:

$ \frac{48b^5}{6b^3} = 8 \cdot b^{5-3} = 8b^2 $

Ответ: $ 8b^2 $

3) Выполняем деление, умножая на обратную дробь:

$ \frac{45}{m^8} : \frac{36}{m^7n^2} = \frac{45}{m^8} \cdot \frac{m^7n^2}{36} = \frac{45m^7n^2}{36m^8} $

Сокращаем коэффициенты 45 и 36 на их наибольший общий делитель, равный 9. Также сокращаем степени переменной $m$:

$ \frac{5 \cdot 9 \cdot m^7 n^2}{4 \cdot 9 \cdot m^8} = \frac{5n^2}{4m^{8-7}} = \frac{5n^2}{4m} $

Ответ: $ \frac{5n^2}{4m} $

4) Сначала представим выражение $36x^7y^2$ в виде дроби со знаменателем 1:

$ \frac{6x^7}{y^8} : (36x^7y^2) = \frac{6x^7}{y^8} : \frac{36x^7y^2}{1} $

Теперь делим дроби, умножая на обратную:

$ \frac{6x^7}{y^8} \cdot \frac{1}{36x^7y^2} = \frac{6x^7}{36x^7y^8y^2} $

Сокращаем коэффициенты (6 и 36 на 6), переменные $x$ и умножаем степени $y$ (используя свойство $y^m \cdot y^n = y^{m+n}$):

$ \frac{6x^7}{36x^7y^{8+2}} = \frac{1 \cdot x^{7-7}}{6y^{10}} = \frac{1 \cdot x^0}{6y^{10}} = \frac{1}{6y^{10}} $

Ответ: $ \frac{1}{6y^{10}} $

5) Представим одночлен $35m^4$ в виде дроби и выполним деление:

$ 35m^4 : \frac{21m^3}{n^2} = \frac{35m^4}{1} \cdot \frac{n^2}{21m^3} = \frac{35m^4n^2}{21m^3} $

Сокращаем числовые коэффициенты (35 и 21 на 7) и степени переменной $m$:

$ \frac{5 \cdot 7 \cdot m^{4-3} n^2}{3 \cdot 7} = \frac{5mn^2}{3} $

Ответ: $ \frac{5mn^2}{3} $

6) Выполняем деление дробей, не забывая про знак. Частное положительной и отрицательной дроби будет отрицательным.

$ \frac{16a^3b^8}{33c^5} : \left(-\frac{12a^2}{55c^6}\right) = - \left(\frac{16a^3b^8}{33c^5} \cdot \frac{55c^6}{12a^2}\right) = - \frac{16 \cdot 55 \cdot a^3b^8c^6}{33 \cdot 12 \cdot c^5a^2} $

Сокращаем числовые коэффициенты: $16$ и $12$ на $4$; $55$ и $33$ на $11$. Сокращаем степени переменных:

$ - \frac{4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot a^{3-2}b^8c^{6-5}}{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 4} = - \frac{4 \cdot 5 \cdot ab^8c}{3 \cdot 3} = -\frac{20ab^8c}{9} $

Ответ: $ -\frac{20ab^8c}{9} $