Номер 162, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 162, страница 225.

162. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{m}{m-2} - 1\right) : \frac{6m}{mn - 2n};$

2) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) : \frac{a+b}{2ab};$

3) $\frac{6x}{x+2} - \frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2 - 6x};$

4) $\left(a - \frac{15a-25}{a+5}\right) : \frac{a^2 - 5a}{a+5};$

5) $\frac{k+4}{k^2 - 6k + 9} : \frac{k^2 - 16}{2k - 6} - \frac{2}{k-4};$

6) $\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right) : \frac{4m}{1-m^2};$

7) $\frac{2x}{x^2 - 1} : \left(\frac{1}{x^2 + 2x + 1} - \frac{1}{1 - x^2}\right);$

8) $\left(\frac{2a - 6}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a - 4}{a^2 - 2a}\right) : \frac{a^2 - 8}{a^3 - 4a};$

9) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{2a - 1}{3a - 2} + \frac{a + 6}{2 - a};$

10) $\frac{b^3 + 2b}{b^2 - 1} : \left(\frac{b + 1}{2b^2 - 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1}\right);$

1)Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m-2)$:
$\left(\frac{m}{m-2} - 1\right) = \frac{m}{m-2} - \frac{m-2}{m-2} = \frac{m - (m-2)}{m-2} = \frac{m - m + 2}{m-2} = \frac{2}{m-2}$
Теперь упростим второй дробь (делитель), вынеся общий множитель $n$ в знаменателе:
$\frac{6m}{mn - 2n} = \frac{6m}{n(m-2)}$
Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2}{m-2} : \frac{6m}{n(m-2)} = \frac{2}{m-2} \cdot \frac{n(m-2)}{6m}$
Сократим общие множители $(m-2)$ и числа 2 и 6:
$\frac{\cancel{2}}{\cancel{m-2}} \cdot \frac{n(\cancel{m-2})}{\cancel{6}^3m} = \frac{n}{3m}$
Ответ: $\frac{n}{3m}$

2)Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $ab$:
$\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$
Выполним деление:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} : \frac{a+b}{2ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2ab}{a+b}$
Сократим общие множители $(a+b)$ и $ab$:
$\frac{(a-b)(\cancel{a+b})}{\cancel{ab}} \cdot \frac{2\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = 2(a-b)$
Ответ: $2(a-b)$

3)Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2-6x} = \frac{x-6}{3(x+2)} \cdot \frac{72}{x(x-6)}$
Сократим общие множители $(x-6)$ и числа 72 и 3:
$\frac{\cancel{x-6}}{3(x+2)} \cdot \frac{72}{x(\cancel{x-6})} = \frac{72}{3x(x+2)} = \frac{24}{x(x+2)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{6x}{x+2} - \frac{24}{x(x+2)}$
Приведем к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{6x \cdot x}{x(x+2)} - \frac{24}{x(x+2)} = \frac{6x^2-24}{x(x+2)}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе и применим формулу разности квадратов:
$\frac{6(x^2-4)}{x(x+2)} = \frac{6(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$
Сократим общий множитель $(x+2)$:
$\frac{6(x-2)(\cancel{x+2})}{x(\cancel{x+2})} = \frac{6(x-2)}{x}$
Ответ: $\frac{6(x-2)}{x}$

4)Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(a+5)$:
$a - \frac{15a-25}{a+5} = \frac{a(a+5)}{a+5} - \frac{15a-25}{a+5} = \frac{a^2+5a - (15a-25)}{a+5} = \frac{a^2-10a+25}{a+5}$
Свернем числитель по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$\frac{(a-5)^2}{a+5}$
Разложим делитель на множители: $\frac{a^2-5a}{a+5} = \frac{a(a-5)}{a+5}$.
Выполним деление:
$\frac{(a-5)^2}{a+5} : \frac{a(a-5)}{a+5} = \frac{(a-5)^2}{a+5} \cdot \frac{a+5}{a(a-5)}$
Сократим общие множители $(a+5)$ и $(a-5)$:
$\frac{(a-5)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+5}} \cdot \frac{\cancel{a+5}}{a(\cancel{a-5})} = \frac{a-5}{a}$
Ответ: $\frac{a-5}{a}$

5)Сначала выполним деление. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:
$k^2-6k+9 = (k-3)^2$
$k^2-16 = (k-4)(k+4)$
$2k-6 = 2(k-3)$
$\frac{k+4}{k^2-6k+9} : \frac{k^2-16}{2k-6} = \frac{k+4}{(k-3)^2} : \frac{(k-4)(k+4)}{2(k-3)} = \frac{k+4}{(k-3)^2} \cdot \frac{2(k-3)}{(k-4)(k+4)}$
Сократим общие множители $(k+4)$ и $(k-3)$:
$\frac{\cancel{k+4}}{(k-3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{2(\cancel{k-3})}{(k-4)(\cancel{k+4})} = \frac{2}{(k-3)(k-4)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{2}{(k-3)(k-4)} - \frac{2}{k-4}$
Приведем к общему знаменателю $(k-3)(k-4)$:
$\frac{2}{(k-3)(k-4)} - \frac{2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2 - 2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2 - 2k + 6}{(k-3)(k-4)} = \frac{8 - 2k}{(k-3)(k-4)}$
Вынесем множитель $-2$ в числителе и сократим:
$\frac{-2(k-4)}{(k-3)(k-4)} = \frac{-2}{k-3} = \frac{2}{3-k}$
Ответ: $\frac{2}{3-k}$

6)Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(m-1)(m+1) = m^2-1$:
$\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m^2+2m+1) - (m^2-2m+1)}{m^2-1} = \frac{4m}{m^2-1}$
Преобразуем делитель: $\frac{4m}{1-m^2} = \frac{4m}{-(m^2-1)}$.
Выполним деление:
$\frac{4m}{m^2-1} : \frac{4m}{-(m^2-1)} = \frac{4m}{m^2-1} \cdot \frac{-(m^2-1)}{4m}$
Сократим все общие множители:
$\frac{\cancel{4m}}{\cancel{m^2-1}} \cdot \frac{-(\cancel{m^2-1})}{\cancel{4m}} = -1$
Ответ: $-1$

7)Разложим знаменатели на множители:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
$x^2+2x+1 = (x+1)^2$
$1-x^2 = -(x^2-1) = -(x-1)(x+1)$
Упростим выражение в скобках:
$\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{-(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x-1)(x+1)}$
Приведем к общему знаменателю $(x+1)^2(x-1)$:
$\frac{1(x-1)}{(x+1)^2(x-1)} + \frac{1(x+1)}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{x-1+x+1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)}$
Выполним деление:
$\frac{2x}{(x-1)(x+1)} : \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2(x-1)}{2x}$
Сократим общие множители:
$\frac{\cancel{2x}}{(\cancel{x-1})(\cancel{x+1})} \cdot \frac{(x+1)^{\cancel{2}}(\cancel{x-1})}{\cancel{2x}} = x+1$
Ответ: $x+1$

8)Разложим все выражения на множители:
$\frac{2a-6}{a^2-4a+4} = \frac{2(a-3)}{(a-2)^2}$
$\frac{a-4}{a^2-2a} = \frac{a-4}{a(a-2)}$
$\frac{a^2-8}{a^3-4a} = \frac{a^2-8}{a(a^2-4)} = \frac{a^2-8}{a(a-2)(a+2)}$
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a(a-2)^2$:
$\frac{2(a-3) \cdot a}{a(a-2)^2} - \frac{(a-4)(a-2)}{a(a-2)^2} = \frac{2a^2-6a - (a^2-6a+8)}{a(a-2)^2} = \frac{a^2-8}{a(a-2)^2}$
Выполним деление:
$\frac{a^2-8}{a(a-2)^2} : \frac{a^2-8}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-8}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-8}$
Сократим общие множители:
$\frac{\cancel{a^2-8}}{\cancel{a}(a-2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a^2-8}} = \frac{a+2}{a-2}$
Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$

9)Выполним умножение. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
$9a^2-4 = (3a-2)(3a+2)$
$2a^2-5a+2 = (2a-1)(a-2)$ (через нахождение корней квадратного трехчлена)
$\frac{(3a-2)(3a+2)}{(a-2)(2a-1)} \cdot \frac{2a-1}{3a-2}$
Сократим общие множители $(3a-2)$ и $(2a-1)$:
$\frac{(\cancel{3a-2})(3a+2)}{(a-2)(\cancel{2a-1})} \cdot \frac{\cancel{2a-1}}{\cancel{3a-2}} = \frac{3a+2}{a-2}$
Выполним сложение, представив $2-a$ как $-(a-2)$:
$\frac{3a+2}{a-2} + \frac{a+6}{2-a} = \frac{3a+2}{a-2} - \frac{a+6}{a-2} = \frac{3a+2 - (a+6)}{a-2} = \frac{2a-4}{a-2}$
Вынесем общий множитель в числителе и сократим:
$\frac{2(a-2)}{a-2} = 2$
Ответ: $2$

10)Разложим выражения на множители:
$\frac{b^3+2b}{b^2-1} = \frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)}$
$\frac{b+1}{2b^2-3b+1} = \frac{b+1}{(b-1)(2b-1)}$ (знаменатель разложен через корни)
$\frac{1}{b^2-1} = \frac{1}{(b-1)(b+1)}$
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(b-1)(b+1)(2b-1)$:
$\frac{(b+1)(b+1)}{(b-1)(b+1)(2b-1)} - \frac{1(2b-1)}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b^2+2b+1 - 2b+1}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b^2+2}{(b-1)(b+1)(2b-1)}$
Выполним деление:
$\frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} : \frac{b^2+2}{(b-1)(b+1)(2b-1)} = \frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{(b-1)(b+1)(2b-1)}{b^2+2}$
Сократим общие множители $(b^2+2)$, $(b-1)$ и $(b+1)$:
$\frac{b(\cancel{b^2+2})}{(\cancel{b-1})(\cancel{b+1})} \cdot \frac{(\cancel{b-1})(\cancel{b+1})(2b-1)}{\cancel{b^2+2}} = b(2b-1)$
Ответ: $b(2b-1)$