Номер 166, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 166, страница 226.

166. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x-4}{x-a}=0;$

2) $\frac{x-a}{x+3}=0;$

3) $\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0;$

4) $\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0;$

5) $\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0;$

6) $\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0.$

1) Для уравнения $\frac{x-4}{x-a}=0$ дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий: $\begin{cases} x - 4 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения находим единственный возможный корень: $x=4$.
Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ этот корень удовлетворяет второму условию, то есть не обращает знаменатель в ноль. Подставим $x=4$ в условие $x \neq a$:
$4 \neq a$.
Таким образом, мы имеем два случая:
1. Если $a = 4$, то корень $x=4$ не удовлетворяет условию $x \neq a$, так как знаменатель становится $4-4=0$. В этом случае уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq 4$, то корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \neq a$, и он является единственным решением уравнения.
Ответ: если $a=4$, то корней нет; если $a \neq 4$, то $x=4$.

2) Уравнение $\frac{x-a}{x+3}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} x - a = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $x=a$.
Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет условию $x \neq -3$. Подставляем $x=a$ в это условие и получаем $a \neq -3$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = -3$, то корень $x=a=-3$ обращает знаменатель в ноль и не является решением. В этом случае у уравнения нет корней.
2. Если $a \neq -3$, то корень $x=a$ является решением уравнения.
Ответ: если $a=-3$, то корней нет; если $a \neq -3$, то $x=a$.

3) Уравнение $\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (a-4)(x-a) = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases}$
Равенство нулю числителя $(a-4)(x-a)=0$ возможно в двух случаях: $a-4=0$ или $x-a=0$. Рассмотрим каждый из них.
Случай 1: $a-4=0$, то есть $a=4$.
Уравнение принимает вид $\frac{0 \cdot (x-4)}{x-3}=0$, что равносильно $0=0$ при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, при $a=4$ решением является любое действительное число, кроме $x=3$.
Случай 2: $a \neq 4$.
В этом случае множитель $a-4$ не равен нулю, и равенство числителя нулю достигается только при $x-a=0$, то есть $x=a$. Этот корень должен удовлетворять условию $x \neq 3$, то есть $a \neq 3$.
- Если $a \neq 4$ и $a \neq 3$, то уравнение имеет единственный корень $x=a$.
- Если $a=3$ (при этом $a \neq 4$), то корень $x=a=3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: если $a=4$, то $x$ - любое число, кроме 3; если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 4$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

4) Уравнение $\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (x-a)(x+5) = 0, \\ x - 8 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем совокупность потенциальных корней: $x=a$ или $x=-5$.
Область допустимых значений определяется условием $x \neq 8$.
Проверим каждый корень:
- Корень $x=-5$ всегда является решением, так как $-5 \neq 8$.
- Корень $x=a$ является решением только в том случае, если $a \neq 8$.
Рассмотрим особые значения параметра $a$:
- Если $a=8$, то корень $x=a=8$ не входит в область допустимых значений и отбрасывается. Единственным решением остается $x=-5$.
- Если $a=-5$, то оба потенциальных корня совпадают ($x=a=-5$ и $x=-5$). Этот корень является решением, так как $-5 \neq 8$. Уравнение имеет одно решение $x=-5$.
- Если $a \neq 8$ и $a \neq -5$, то оба корня $x=a$ и $x=-5$ различны и оба удовлетворяют условию $x \neq 8$. В этом случае уравнение имеет два корня.
Эти случаи можно объединить в более краткой форме.
Ответ: если $a=8$, то $x=-5$; если $a \neq 8$, то $x=a$ и $x=-5$.

5) Уравнение $\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (x+4)(x-2) = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем два потенциальных корня: $x=-4$ и $x=2$.
Эти корни будут решениями, если они удовлетворяют условию $x \neq a$.
- Корень $x=-4$ является решением, если $-4 \neq a$.
- Корень $x=2$ является решением, если $2 \neq a$.
Рассмотрим особые значения параметра $a$:
1. Если $a=-4$, то корень $x=-4$ не является решением (знаменатель равен нулю). Корень $x=2$ является решением, так как $2 \neq -4$. В этом случае единственное решение $x=2$.
2. Если $a=2$, то корень $x=2$ не является решением. Корень $x=-4$ является решением, так как $-4 \neq 2$. В этом случае единственное решение $x=-4$.
3. Если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то оба корня, $x=-4$ и $x=2$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями уравнения.
Ответ: если $a=-4$, то $x=2$; если $a=2$, то $x=-4$; если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то $x=-4$ и $x=2$.

6) Уравнение $\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} x - a = 0, \\ (x+4)(x-2) \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем единственный потенциальный корень $x=a$.
Второе условие задает область допустимых значений: $x+4 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -4$ и $x \neq 2$.
Корень $x=a$ будет решением уравнения, если он принадлежит области допустимых значений, то есть если $a \neq -4$ и $a \neq 2$.
Рассмотрим случаи:
1. Если $a=-4$ или $a=2$, то значение $x=a$ обращает знаменатель в ноль. Следовательно, в этих случаях уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то корень $x=a$ является решением уравнения.
Ответ: если $a=-4$ или $a=2$, то корней нет; если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то $x=a$.