Номер 159, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 159, страница 225.

Учебник.

159. Дано: $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$. Найдите значение выражения $x + \frac{4}{x}$.

Решение 2.

Для того чтобы найти значение выражения $x + \frac{4}{x}$, имея уравнение $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$, мы можем использовать формулу квадрата суммы.

Рассмотрим квадрат искомого выражения $(x + \frac{4}{x})$. Согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$, получаем:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2$

Упростим средний член и последний член выражения:

$2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} = 8$

$(\frac{4}{x})^2 = \frac{16}{x^2}$

Таким образом, раскрытие скобок дает:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}$

Перегруппируем члены, чтобы выделить данное нам в условии выражение:

$(x + \frac{4}{x})^2 = (x^2 + \frac{16}{x^2}) + 8$

Теперь подставим известное значение $x^2 + \frac{16}{x^2} = 56$ в полученное равенство:

$(x + \frac{4}{x})^2 = 56 + 8$

$(x + \frac{4}{x})^2 = 64$

Чтобы найти значение $x + \frac{4}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует учесть, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x + \frac{4}{x} = \pm\sqrt{64}$

$x + \frac{4}{x} = \pm 8$

Следовательно, выражение $x + \frac{4}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: 8 или -8.