Номер 152, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 152, страница 224.

152. Упростите выражение:

1) $\frac{m + 1}{m - 1} - \frac{m^2 + 1}{m^2 - 1};$

2) $\frac{b^2}{2ab + a^2 + b^2} + \frac{a - b}{a + b};$

3) $\frac{3a}{9a^2 - 1} - \frac{a + 2}{3a^2 + a};$

4) $\frac{k - 2}{k^2 + 6k + 9} - \frac{k}{k^2 - 9};$

5) $\frac{x - 20}{x^2 + 5x} + \frac{x}{x + 5} - \frac{x - 5}{x};$

6) $\frac{y + 3}{y - 3} - \frac{y - 3}{y + 3} - \frac{36}{y^2 - 9}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{m+1}{m-1} - \frac{m^2+1}{m^2-1}$ приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $m^2-1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $m^2-1 = (m-1)(m+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{m+1}{m-1} - \frac{m^2+1}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{m^2+1}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)^2 - (m^2+1)}{(m-1)(m+1)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{m^2+2m+1 - m^2-1}{(m-1)(m+1)} = \frac{2m}{(m-1)(m+1)} = \frac{2m}{m^2-1}$.
Ответ: $\frac{2m}{m^2-1}$

2) В выражении $\frac{b^2}{2ab + a^2 + b^2} + \frac{a-b}{a+b}$ знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)^2$:
$\frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a+b)} = \frac{b^2 + a^2-b^2}{(a+b)^2} = \frac{a^2}{(a+b)^2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{(a+b)^2}$

3) Упростим $\frac{3a}{9a^2-1} - \frac{a+2}{3a^2+a}$. Сначала разложим знаменатели на множители: $9a^2-1 = (3a-1)(3a+1)$ и $3a^2+a = a(3a+1)$.
Общий знаменатель будет $a(3a-1)(3a+1)$.
$\frac{3a \cdot a}{a(3a-1)(3a+1)} - \frac{(a+2)(3a-1)}{a(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a^2 - (3a^2-a+6a-2)}{a(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a^2 - (3a^2+5a-2)}{a(9a^2-1)} = \frac{3a^2-3a^2-5a+2}{a(9a^2-1)} = \frac{2-5a}{a(9a^2-1)}$.
Ответ: $\frac{2-5a}{a(9a^2-1)}$

4) В выражении $\frac{k-2}{k^2+6k+9} - \frac{k}{k^2-9}$ разложим знаменатели на множители: $k^2+6k+9 = (k+3)^2$ и $k^2-9 = (k-3)(k+3)$.
Общий знаменатель: $(k+3)^2(k-3)$.
$\frac{(k-2)(k-3)}{(k+3)^2(k-3)} - \frac{k(k+3)}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{k^2-3k-2k+6 - (k^2+3k)}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{k^2-5k+6-k^2-3k}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{6-8k}{(k-3)(k+3)^2}$.
Ответ: $\frac{6-8k}{(k-3)(k+3)^2}$

5) Упростим $\frac{x-20}{x^2+5x} + \frac{x}{x+5} - \frac{x-5}{x}$. Разложим первый знаменатель на множители: $x^2+5x = x(x+5)$. Это и будет общий знаменатель для всех трех дробей.
$\frac{x-20}{x(x+5)} + \frac{x \cdot x}{x(x+5)} - \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{x-20+x^2-(x^2-25)}{x(x+5)} = \frac{x-20+x^2-x^2+25}{x(x+5)} = \frac{x+5}{x(x+5)}$.
Сократим дробь на $(x+5)$: $\frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

6) В выражении $\frac{y+3}{y-3} - \frac{y-3}{y+3} - \frac{36}{y^2-9}$ знаменатель третьей дроби $y^2-9 = (y-3)(y+3)$ является общим знаменателем.
$\frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{(y-3)(y-3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{36}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2 - (y-3)^2 - 36}{y^2-9}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{(y^2+6y+9) - (y^2-6y+9) - 36}{y^2-9} = \frac{y^2+6y+9-y^2+6y-9-36}{y^2-9} = \frac{12y-36}{y^2-9}$.
Вынесем общий множитель в числителе: $\frac{12(y-3)}{(y-3)(y+3)}$.
Сократим дробь на $(y-3)$: $\frac{12}{y+3}$.
Ответ: $\frac{12}{y+3}$