Номер 154, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 154, страница 224.

154. Выполните умножение:

1) $\frac{a^3}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^3}$;

2) $\frac{4m^2}{k^6} \cdot \frac{mk^6}{16}$;

3) $\frac{a}{7b} \cdot 7a$;

4) $20x^{16} \cdot \frac{y^4}{5x^4}$;

5) $\frac{17x^4}{y^8} \cdot \frac{y^6}{34x^7}$;

6) $\frac{8k^9}{9mp} \cdot \frac{81m^2}{56k^6p^2}$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $\frac{a^3}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^3 \cdot b^2}{b^4 \cdot a^3}$. Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $a^3$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Для степеней переменной $b$ используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$. Получаем $\frac{b^2}{b^4} = \frac{1}{b^{4-2}} = \frac{1}{b^2}$.

Ответ: $\frac{1}{b^2}$

2) Перемножим числители и знаменатели дробей: $\frac{4m^2}{k^6} \cdot \frac{mk^6}{16} = \frac{4m^2 \cdot mk^6}{k^6 \cdot 16}$. Сгруппируем и упростим выражение. В числителе $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$. Получаем $\frac{4m^3k^6}{16k^6}$. Сократим дробь: $k^6$ в числителе и знаменателе сокращаются. Коэффициенты $\frac{4}{16}$ сокращаются на 4, что дает $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{m^3}{4}$

3) Представим второй множитель в виде дроби: $7a = \frac{7a}{1}$. Теперь перемножим дроби: $\frac{a}{7b} \cdot \frac{7a}{1} = \frac{a \cdot 7a}{7b \cdot 1} = \frac{7a^2}{7b}$. Сократим общий множитель 7 в числителе и знаменателе.

Ответ: $\frac{a^2}{b}$

4) Представим первый множитель в виде дроби: $20x^{16} = \frac{20x^{16}}{1}$. Выполним умножение: $ \frac{20x^{16}}{1} \cdot \frac{y^4}{5x^4} = \frac{20x^{16}y^4}{5x^4}$. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{20}{5} = 4$. Сократим степени с основанием $x$: $\frac{x^{16}}{x^4} = x^{16-4} = x^{12}$.

Ответ: $4x^{12}y^4$

5) Умножим числители и знаменатели дробей: $\frac{17x^4}{y^8} \cdot \frac{y^6}{34x^7} = \frac{17x^4y^6}{34x^7y^8}$. Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные. Коэффициенты: $\frac{17}{34} = \frac{1}{2}$. Переменные $x$: $\frac{x^4}{x^7} = \frac{1}{x^{7-4}} = \frac{1}{x^3}$. Переменные $y$: $\frac{y^6}{y^8} = \frac{1}{y^{8-6}} = \frac{1}{y^2}$. Объединяем полученные результаты.

Ответ: $\frac{1}{2x^3y^2}$

6) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $\frac{8k^9}{9mp} \cdot \frac{81m^2}{56k^6p^2} = \frac{8k^9 \cdot 81m^2}{9mp \cdot 56k^6p^2}$. Для удобства сокращения, сгруппируем множители: $\frac{8 \cdot 81}{9 \cdot 56} \cdot \frac{m^2}{m} \cdot \frac{k^9}{k^6} \cdot \frac{1}{p \cdot p^2}$. Упростим каждую группу. Числовые коэффициенты: $\frac{81}{9}=9$ и $\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$, итого $\frac{9}{7}$. Переменные $m$: $\frac{m^2}{m} = m$. Переменные $k$: $\frac{k^9}{k^6} = k^{9-6} = k^3$. Переменные $p$: $\frac{1}{p \cdot p^2} = \frac{1}{p^{1+2}} = \frac{1}{p^3}$. Соберем все вместе.

Ответ: $\frac{9mk^3}{7p^3}$