Номер 153, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 153, страница 224.

153. Докажите тождество:

1) $\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0;$

2) $\frac{8a^2+4}{4a^2-1} - \frac{2a-2}{2a+1} - \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1};$

3) $\frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a};$

4) $\frac{b+2}{2a+1} - \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1}.$

1) Чтобы доказать тождество $\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0$, преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ab - a^2 = a(b-a) = -a(a-b)$. Теперь видно, что общий знаменатель для всех трех дробей будет $a(a-b)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $a$, вторую — на $(a-b)$, а для третьей дроби изменим знак перед ней и в знаменателе:
$\frac{a \cdot a}{a(a-b)} - \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - (a^2-b^2) - b^2}{a(a-b)}$
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{a^2 - a^2 + b^2 - b^2}{a(a-b)} = \frac{0}{a(a-b)} = 0$
Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано (при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$).
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\frac{8a^2+4}{4a^2-1} - \frac{2a-2}{2a+1} - \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$. Общим знаменателем является выражение $(2a-1)(2a+1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{8a^2+4}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{(2a-2)(2a-1)}{(2a+1)(2a-1)} - \frac{(2a+1)(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{(8a^2+4) - (2a-2)(2a-1) - (2a+1)^2}{(2a-1)(2a+1)}$
Раскроем скобки в числителе: $(2a-2)(2a-1) = 4a^2-2a-4a+2 = 4a^2-6a+2$ и $(2a+1)^2 = 4a^2+4a+1$. Подставим полученные выражения в числитель:
$8a^2+4 - (4a^2-6a+2) - (4a^2+4a+1) = 8a^2+4 - 4a^2+6a-2 - 4a^2-4a-1$
Приведем подобные слагаемые: $(8a^2-4a^2-4a^2) + (6a-4a) + (4-2-1) = 2a+1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\frac{2a+1}{(2a-1)(2a+1)}$
Сократим дробь на $(2a+1)$, получим $\frac{1}{2a-1}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq \pm \frac{1}{2}$).
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $\frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатели на множители: $a^2-5a = a(a-5)$, $5a+25 = 5(a+5)$, $25-a^2 = (5-a)(5+a) = -(a-5)(a+5)$.Общий знаменатель: $5a(a-5)(a+5)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{(a+5) \cdot 5(a+5)}{5a(a-5)(a+5)} + \frac{(a-5) \cdot a(a-5)}{5a(a-5)(a+5)} - \frac{20 \cdot 5a}{5a(a-5)(a+5)}$
Запишем все под общим знаменателем:
$\frac{5(a+5)^2 + a(a-5)^2 - 100a}{5a(a-5)(a+5)}$
Раскроем скобки в числителе: $5(a^2+10a+25) + a(a^2-10a+25) - 100a = 5a^2+50a+125 + a^3-10a^2+25a - 100a$.
Приведем подобные слагаемые: $a^3 - 5a^2 - 25a + 125$.
Разложим числитель на множители методом группировки: $a^2(a-5) - 25(a-5) = (a^2-25)(a-5) = (a-5)(a+5)(a-5) = (a-5)^2(a+5)$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a-5)^2(a+5)}{5a(a-5)(a+5)}$
Сократим дробь на $(a-5)(a+5)$, получим $\frac{a-5}{5a}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq 0, a \neq \pm 5$).
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $\frac{b+2}{2a+1} - \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатель второй дроби на множители методом группировки: $2ab-2+b-4a = (2ab-4a) + (b-2) = 2a(b-2) + 1(b-2) = (2a+1)(b-2)$.
Общий знаменатель: $(2a+1)(b-2)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(b+2)(b-2)}{(2a+1)(b-2)} - \frac{b^2-2b}{(2a+1)(b-2)}$
Запишем под одной дробной чертой:
$\frac{(b+2)(b-2) - (b^2-2b)}{(2a+1)(b-2)}$
Упростим числитель: $(b^2-4) - (b^2-2b) = b^2-4-b^2+2b = 2b-4 = 2(b-2)$.
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$\frac{2(b-2)}{(2a+1)(b-2)}$
Сократим дробь на $(b-2)$, получим $\frac{2}{2a+1}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq -\frac{1}{2}, b \neq 2$).
Ответ: Тождество доказано.