Номер 146, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 146, страница 223.

Учебник.

146. При некоторых значениях $x$ и $y$ выполняются равенства $x + y = 6$, $xy = -3$. Найдите при этих же значениях $x$ и $y$ значение выражения:

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

2) $(x - y)^2$;

3) $x^4 + y^4$.

Решение 2.

Нам даны два равенства: $x + y = 6$ и $xy = -3$. Используя их, найдем значения требуемых выражений.

1) $x^3y^2 + x^2y^3$

Для нахождения значения этого выражения, сначала вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2(x + y)$.
Выражение $x^2y^2$ можно представить в виде $(xy)^2$. Тогда получим:
$(xy)^2(x + y)$.
Теперь подставим известные нам значения $xy = -3$ и $x + y = 6$:
$(-3)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$.
Ответ: 54

2) $(x - y)^2$

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой квадрата разности, которая связывает его с квадратом суммы:
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$.
Подставим известные значения $x + y = 6$ и $xy = -3$ в эту формулу:
$(6)^2 - 4(-3) = 36 + 12 = 48$.
Ответ: 48

3) $x^4 + y^4$

Для решения этой задачи нам сначала потребуется найти значение выражения $x^2 + y^2$. Его можно получить из формулы квадрата суммы:
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, откуда $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
Подставим известные значения:
$x^2 + y^2 = (6)^2 - 2(-3) = 36 + 6 = 42$.
Теперь представим $x^4 + y^4$ как сумму квадратов и воспользуемся той же логикой:
$x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$.
Это выражение можно записать как $(x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Подставим найденное значение $x^2 + y^2 = 42$ и исходное значение $xy = -3$:
$(42)^2 - 2(-3)^2 = 1764 - 2(9) = 1764 - 18 = 1746$.
Ответ: 1746