Номер 151, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 151, страница 223.

151. Упростите выражение:

1) $\frac{4n + 5m}{m} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$;

2) $\frac{a + 2}{3a - 3} + \frac{3 - a}{5a - 5}$;

3) $\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{x - 1}{x - 5}$;

4) $\frac{4b}{3b - 24} + \frac{3b}{16 - 2b}$;

5) $\frac{3p}{3p + q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 6pq + q^2}$;

6) $\frac{4}{m^2 - 36} - \frac{2}{m^2 - 6m}$;

7) $8 - \frac{3a + 8c}{c}$;

8) $\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + m - 4n$;

9) $x - \frac{49}{x - 7} - 7$.

1) $\frac{4n + 5m}{m} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m$ и $mn$ — это $mn$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $n$:
$\frac{(4n + 5m) \cdot n}{m \cdot n} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn} = \frac{4n^2 + 5mn}{mn} - \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{4n^2 + 5mn - (6n^2 + 5m^2)}{mn} = \frac{4n^2 + 5mn - 6n^2 - 5m^2}{mn}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(4n^2 - 6n^2) + 5mn - 5m^2}{mn} = \frac{-2n^2 + 5mn - 5m^2}{mn}$
Ответ: $\frac{-2n^2 + 5mn - 5m^2}{mn}$

2) $\frac{a + 2}{3a - 3} + \frac{3 - a}{5a - 5}$
Сначала разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$3a - 3 = 3(a - 1)$
$5a - 5 = 5(a - 1)$
Наименьший общий знаменатель равен $3 \cdot 5 \cdot (a - 1) = 15(a - 1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 5, для второй — 3:
$\frac{(a + 2) \cdot 5}{3(a - 1) \cdot 5} + \frac{(3 - a) \cdot 3}{5(a - 1) \cdot 3} = \frac{5a + 10}{15(a - 1)} + \frac{9 - 3a}{15(a - 1)}$
Сложим числители:
$\frac{5a + 10 + 9 - 3a}{15(a - 1)} = \frac{(5a - 3a) + (10 + 9)}{15(a - 1)} = \frac{2a + 19}{15(a - 1)}$
Ответ: $\frac{2a + 19}{15(a - 1)}$

3) $\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{x - 1}{x - 5}$
Общим знаменателем является произведение знаменателей: $(x + 5)(x - 5)$, что равно $x^2 - 25$.
Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{(x - 5)(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} - \frac{(x - 1)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}$
Раскроем скобки в числителях. В первом числителе — квадрат разности, во втором — произведение многочленов:
$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$
$(x - 1)(x + 5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$
Подставим полученные выражения и выполним вычитание:
$\frac{(x^2 - 10x + 25) - (x^2 + 4x - 5)}{x^2 - 25} = \frac{x^2 - 10x + 25 - x^2 - 4x + 5}{x^2 - 25}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(-10x - 4x) + (25 + 5)}{x^2 - 25} = \frac{-14x + 30}{x^2 - 25}$
Ответ: $\frac{30 - 14x}{x^2 - 25}$

4) $\frac{4b}{3b - 24} + \frac{3b}{16 - 2b}$
Разложим знаменатели на множители:
$3b - 24 = 3(b - 8)$
$16 - 2b = 2(8 - b) = -2(b - 8)$
Перепишем выражение, вынеся минус из второго знаменателя перед дробью:
$\frac{4b}{3(b - 8)} - \frac{3b}{2(b - 8)}$
Общий знаменатель равен $6(b - 8)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{4b \cdot 2}{3(b - 8) \cdot 2} - \frac{3b \cdot 3}{2(b - 8) \cdot 3} = \frac{8b}{6(b - 8)} - \frac{9b}{6(b - 8)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{8b - 9b}{6(b - 8)} = \frac{-b}{6(b - 8)}$
Ответ: $\frac{-b}{6(b - 8)}$

5) $\frac{3p}{3p + q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 6pq + q^2}$
Заметим, что второй знаменатель является полным квадратом суммы:
$9p^2 + 6pq + q^2 = (3p)^2 + 2(3p)(q) + q^2 = (3p + q)^2$
Таким образом, общий знаменатель — это $(3p + q)^2$.
Домножим первую дробь на недостающий множитель $(3p + q)$:
$\frac{3p(3p + q)}{(3p + q)(3p + q)} - \frac{9p^2}{(3p + q)^2} = \frac{9p^2 + 3pq}{(3p + q)^2} - \frac{9p^2}{(3p + q)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{9p^2 + 3pq - 9p^2}{(3p + q)^2} = \frac{3pq}{(3p + q)^2}$
Ответ: $\frac{3pq}{(3p + q)^2}$

6) $\frac{4}{m^2 - 36} - \frac{2}{m^2 - 6m}$
Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:
$m^2 - 36 = (m - 6)(m + 6)$
$m^2 - 6m = m(m - 6)$
Общий знаменатель — $m(m - 6)(m + 6)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 \cdot m}{m(m - 6)(m + 6)} - \frac{2 \cdot (m + 6)}{m(m - 6)(m + 6)}$
Выполним вычитание:
$\frac{4m - 2(m + 6)}{m(m - 6)(m + 6)} = \frac{4m - 2m - 12}{m(m - 6)(m + 6)}$
Упростим числитель:
$\frac{2m - 12}{m(m - 6)(m + 6)} = \frac{2(m - 6)}{m(m - 6)(m + 6)}$
Сократим дробь на общий множитель $(m - 6)$:
$\frac{2}{m(m + 6)}$
Ответ: $\frac{2}{m(m + 6)}$

7) $8 - \frac{3a + 8c}{c}$
Представим число 8 в виде дроби со знаменателем $c$:
$8 = \frac{8c}{c}$
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{8c}{c} - \frac{3a + 8c}{c} = \frac{8c - (3a + 8c)}{c}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{8c - 3a - 8c}{c} = \frac{-3a}{c}$
Ответ: $-\frac{3a}{c}$

8) $\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + m - 4n$
Чтобы сложить выражения, приведем их к общему знаменателю $(m + 4n)$.
$\frac{m^2 - n^2}{m + 4n} + \frac{(m - 4n)(m + 4n)}{m + 4n}$
В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов: $(m - 4n)(m + 4n) = m^2 - (4n)^2 = m^2 - 16n^2$.
Сложим дроби:
$\frac{m^2 - n^2 + (m^2 - 16n^2)}{m + 4n}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(m^2 + m^2) + (-n^2 - 16n^2)}{m + 4n} = \frac{2m^2 - 17n^2}{m + 4n}$
Ответ: $\frac{2m^2 - 17n^2}{m + 4n}$

9) $x - \frac{49}{x - 7} - 7$
Сгруппируем целые слагаемые:
$(x - 7) - \frac{49}{x - 7}$
Приведем к общему знаменателю $(x - 7)$:
$\frac{(x - 7)(x - 7)}{x - 7} - \frac{49}{x - 7} = \frac{(x - 7)^2 - 49}{x - 7}$
Раскроем квадрат разности в числителе:
$\frac{x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 - 49}{x - 7} = \frac{x^2 - 14x + 49 - 49}{x - 7}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - 14x}{x - 7}$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$\frac{x(x - 14)}{x - 7}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{x(x - 14)}{x - 7}$