Номер 147, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 147, страница 223.

147. Сократите дробь:

1) $\frac{3a}{12b}$;

2) $\frac{8xy}{4xz}$;

3) $\frac{20m^2}{15m^3}$;

4) $\frac{3a^2bc}{21abc^4}$;

5) $\frac{36m^5n^4}{24m^2n^7}$;

6) $\frac{39p^6q^9}{65p^9q^6}$.

1) Чтобы сократить дробь, нужно разделить её числитель и знаменатель на их общие множители.

Сначала сократим числовые коэффициенты 3 и 12. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 3.

$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому их сократить нельзя.

Таким образом, в числителе остаётся $1 \cdot a = a$, а в знаменателе $4 \cdot b = 4b$.

Ответ: $\frac{a}{4b}$

2) Сократим числовые коэффициенты 8 и 4 на их НОД, равный 4: $\frac{8}{4} = \frac{2}{1}$.

Сократим одинаковые переменные в числителе и знаменателе: $\frac{x}{x} = 1$.

Переменная $y$ остается в числителе, а $z$ — в знаменателе.

Собираем итоговую дробь: $\frac{2 \cdot y}{1 \cdot z} = \frac{2y}{z}$.

Ответ: $\frac{2y}{z}$

3) Сократим коэффициенты 20 и 15 на их НОД, равный 5: $\frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.

Сократим степени переменной $m$, используя свойство степеней $\frac{a^n}{a^k} = \frac{1}{a^{k-n}}$ (при $k > n$):

$\frac{m^2}{m^3} = \frac{1}{m^{3-2}} = \frac{1}{m}$

Объединяем результаты: в числителе остаётся 4, в знаменателе $3 \cdot m$.

Ответ: $\frac{4}{3m}$

4) Сократим дробь поэтапно, рассматривая коэффициенты и каждую переменную отдельно.

1. Коэффициенты: НОД(3, 21) = 3. $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.

2. Переменная $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$ (остаётся в числителе).

3. Переменная $b$: $\frac{b}{b} = 1$ (сокращается полностью).

4. Переменная $c$: $\frac{c}{c^4} = \frac{1}{c^{4-1}} = \frac{1}{c^3}$ ($c^3$ остаётся в знаменателе).

Собираем всё вместе: $\frac{1 \cdot a \cdot 1}{7 \cdot 1 \cdot c^3} = \frac{a}{7c^3}$.

Ответ: $\frac{a}{7c^3}$

5) Сократим дробь поэтапно.

1. Коэффициенты: НОД(36, 24) = 12. $\frac{36}{24} = \frac{3}{2}$.

2. Переменная $m$: $\frac{m^5}{m^2} = m^{5-2} = m^3$ (остаётся в числителе).

3. Переменная $n$: $\frac{n^4}{n^7} = \frac{1}{n^{7-4}} = \frac{1}{n^3}$ ($n^3$ остаётся в знаменателе).

Собираем всё вместе: $\frac{3 \cdot m^3}{2 \cdot n^3} = \frac{3m^3}{2n^3}$.

Ответ: $\frac{3m^3}{2n^3}$

6) Сократим дробь поэтапно.

1. Коэффициенты: НОД(39, 65) = 13, так как $39 = 3 \cdot 13$ и $65 = 5 \cdot 13$. $\frac{39}{65} = \frac{3}{5}$.

2. Переменная $p$: $\frac{p^6}{p^9} = \frac{1}{p^{9-6}} = \frac{1}{p^3}$ ($p^3$ остаётся в знаменателе).

3. Переменная $q$: $\frac{q^9}{q^6} = q^{9-6} = q^3$ ($q^3$ остаётся в числителе).

Собираем всё вместе: $\frac{3 \cdot q^3}{5 \cdot p^3} = \frac{3q^3}{5p^3}$.

Ответ: $\frac{3q^3}{5p^3}$