Страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

152. Упростите выражение:

1) $\frac{m + 1}{m - 1} - \frac{m^2 + 1}{m^2 - 1};$

2) $\frac{b^2}{2ab + a^2 + b^2} + \frac{a - b}{a + b};$

3) $\frac{3a}{9a^2 - 1} - \frac{a + 2}{3a^2 + a};$

4) $\frac{k - 2}{k^2 + 6k + 9} - \frac{k}{k^2 - 9};$

5) $\frac{x - 20}{x^2 + 5x} + \frac{x}{x + 5} - \frac{x - 5}{x};$

6) $\frac{y + 3}{y - 3} - \frac{y - 3}{y + 3} - \frac{36}{y^2 - 9}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{m+1}{m-1} - \frac{m^2+1}{m^2-1}$ приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $m^2-1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $m^2-1 = (m-1)(m+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{m+1}{m-1} - \frac{m^2+1}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{m^2+1}{(m-1)(m+1)} = \frac{(m+1)^2 - (m^2+1)}{(m-1)(m+1)}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{m^2+2m+1 - m^2-1}{(m-1)(m+1)} = \frac{2m}{(m-1)(m+1)} = \frac{2m}{m^2-1}$.
Ответ: $\frac{2m}{m^2-1}$

2) В выражении $\frac{b^2}{2ab + a^2 + b^2} + \frac{a-b}{a+b}$ знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)^2$:
$\frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a+b)} = \frac{b^2 + a^2-b^2}{(a+b)^2} = \frac{a^2}{(a+b)^2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{(a+b)^2}$

3) Упростим $\frac{3a}{9a^2-1} - \frac{a+2}{3a^2+a}$. Сначала разложим знаменатели на множители: $9a^2-1 = (3a-1)(3a+1)$ и $3a^2+a = a(3a+1)$.
Общий знаменатель будет $a(3a-1)(3a+1)$.
$\frac{3a \cdot a}{a(3a-1)(3a+1)} - \frac{(a+2)(3a-1)}{a(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a^2 - (3a^2-a+6a-2)}{a(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a^2 - (3a^2+5a-2)}{a(9a^2-1)} = \frac{3a^2-3a^2-5a+2}{a(9a^2-1)} = \frac{2-5a}{a(9a^2-1)}$.
Ответ: $\frac{2-5a}{a(9a^2-1)}$

4) В выражении $\frac{k-2}{k^2+6k+9} - \frac{k}{k^2-9}$ разложим знаменатели на множители: $k^2+6k+9 = (k+3)^2$ и $k^2-9 = (k-3)(k+3)$.
Общий знаменатель: $(k+3)^2(k-3)$.
$\frac{(k-2)(k-3)}{(k+3)^2(k-3)} - \frac{k(k+3)}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{k^2-3k-2k+6 - (k^2+3k)}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{k^2-5k+6-k^2-3k}{(k+3)^2(k-3)} = \frac{6-8k}{(k-3)(k+3)^2}$.
Ответ: $\frac{6-8k}{(k-3)(k+3)^2}$

5) Упростим $\frac{x-20}{x^2+5x} + \frac{x}{x+5} - \frac{x-5}{x}$. Разложим первый знаменатель на множители: $x^2+5x = x(x+5)$. Это и будет общий знаменатель для всех трех дробей.
$\frac{x-20}{x(x+5)} + \frac{x \cdot x}{x(x+5)} - \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{x-20+x^2-(x^2-25)}{x(x+5)} = \frac{x-20+x^2-x^2+25}{x(x+5)} = \frac{x+5}{x(x+5)}$.
Сократим дробь на $(x+5)$: $\frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

6) В выражении $\frac{y+3}{y-3} - \frac{y-3}{y+3} - \frac{36}{y^2-9}$ знаменатель третьей дроби $y^2-9 = (y-3)(y+3)$ является общим знаменателем.
$\frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{(y-3)(y-3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{36}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2 - (y-3)^2 - 36}{y^2-9}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{(y^2+6y+9) - (y^2-6y+9) - 36}{y^2-9} = \frac{y^2+6y+9-y^2+6y-9-36}{y^2-9} = \frac{12y-36}{y^2-9}$.
Вынесем общий множитель в числителе: $\frac{12(y-3)}{(y-3)(y+3)}$.
Сократим дробь на $(y-3)$: $\frac{12}{y+3}$.
Ответ: $\frac{12}{y+3}$

153. Докажите тождество:

1) $\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0;$

2) $\frac{8a^2+4}{4a^2-1} - \frac{2a-2}{2a+1} - \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1};$

3) $\frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a};$

4) $\frac{b+2}{2a+1} - \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1}.$

1) Чтобы доказать тождество $\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a} + \frac{b^2}{ab-a^2} = 0$, преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ab - a^2 = a(b-a) = -a(a-b)$. Теперь видно, что общий знаменатель для всех трех дробей будет $a(a-b)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $a$, вторую — на $(a-b)$, а для третьей дроби изменим знак перед ней и в знаменателе:
$\frac{a \cdot a}{a(a-b)} - \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - (a^2-b^2) - b^2}{a(a-b)}$
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{a^2 - a^2 + b^2 - b^2}{a(a-b)} = \frac{0}{a(a-b)} = 0$
Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано (при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$).
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\frac{8a^2+4}{4a^2-1} - \frac{2a-2}{2a+1} - \frac{2a+1}{2a-1} = \frac{1}{2a-1}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$. Общим знаменателем является выражение $(2a-1)(2a+1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{8a^2+4}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{(2a-2)(2a-1)}{(2a+1)(2a-1)} - \frac{(2a+1)(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{(8a^2+4) - (2a-2)(2a-1) - (2a+1)^2}{(2a-1)(2a+1)}$
Раскроем скобки в числителе: $(2a-2)(2a-1) = 4a^2-2a-4a+2 = 4a^2-6a+2$ и $(2a+1)^2 = 4a^2+4a+1$. Подставим полученные выражения в числитель:
$8a^2+4 - (4a^2-6a+2) - (4a^2+4a+1) = 8a^2+4 - 4a^2+6a-2 - 4a^2-4a-1$
Приведем подобные слагаемые: $(8a^2-4a^2-4a^2) + (6a-4a) + (4-2-1) = 2a+1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\frac{2a+1}{(2a-1)(2a+1)}$
Сократим дробь на $(2a+1)$, получим $\frac{1}{2a-1}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq \pm \frac{1}{2}$).
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $\frac{a+5}{a^2-5a} + \frac{a-5}{5a+25} + \frac{20}{25-a^2} = \frac{a-5}{5a}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатели на множители: $a^2-5a = a(a-5)$, $5a+25 = 5(a+5)$, $25-a^2 = (5-a)(5+a) = -(a-5)(a+5)$.Общий знаменатель: $5a(a-5)(a+5)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{(a+5) \cdot 5(a+5)}{5a(a-5)(a+5)} + \frac{(a-5) \cdot a(a-5)}{5a(a-5)(a+5)} - \frac{20 \cdot 5a}{5a(a-5)(a+5)}$
Запишем все под общим знаменателем:
$\frac{5(a+5)^2 + a(a-5)^2 - 100a}{5a(a-5)(a+5)}$
Раскроем скобки в числителе: $5(a^2+10a+25) + a(a^2-10a+25) - 100a = 5a^2+50a+125 + a^3-10a^2+25a - 100a$.
Приведем подобные слагаемые: $a^3 - 5a^2 - 25a + 125$.
Разложим числитель на множители методом группировки: $a^2(a-5) - 25(a-5) = (a^2-25)(a-5) = (a-5)(a+5)(a-5) = (a-5)^2(a+5)$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a-5)^2(a+5)}{5a(a-5)(a+5)}$
Сократим дробь на $(a-5)(a+5)$, получим $\frac{a-5}{5a}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq 0, a \neq \pm 5$).
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $\frac{b+2}{2a+1} - \frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a} = \frac{2}{2a+1}$, преобразуем левую часть. Разложим знаменатель второй дроби на множители методом группировки: $2ab-2+b-4a = (2ab-4a) + (b-2) = 2a(b-2) + 1(b-2) = (2a+1)(b-2)$.
Общий знаменатель: $(2a+1)(b-2)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(b+2)(b-2)}{(2a+1)(b-2)} - \frac{b^2-2b}{(2a+1)(b-2)}$
Запишем под одной дробной чертой:
$\frac{(b+2)(b-2) - (b^2-2b)}{(2a+1)(b-2)}$
Упростим числитель: $(b^2-4) - (b^2-2b) = b^2-4-b^2+2b = 2b-4 = 2(b-2)$.
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$\frac{2(b-2)}{(2a+1)(b-2)}$
Сократим дробь на $(b-2)$, получим $\frac{2}{2a+1}$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при $a \neq -\frac{1}{2}, b \neq 2$).
Ответ: Тождество доказано.

154. Выполните умножение:

1) $\frac{a^3}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^3}$;

2) $\frac{4m^2}{k^6} \cdot \frac{mk^6}{16}$;

3) $\frac{a}{7b} \cdot 7a$;

4) $20x^{16} \cdot \frac{y^4}{5x^4}$;

5) $\frac{17x^4}{y^8} \cdot \frac{y^6}{34x^7}$;

6) $\frac{8k^9}{9mp} \cdot \frac{81m^2}{56k^6p^2}$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $\frac{a^3}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^3 \cdot b^2}{b^4 \cdot a^3}$. Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $a^3$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Для степеней переменной $b$ используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$. Получаем $\frac{b^2}{b^4} = \frac{1}{b^{4-2}} = \frac{1}{b^2}$.

Ответ: $\frac{1}{b^2}$

2) Перемножим числители и знаменатели дробей: $\frac{4m^2}{k^6} \cdot \frac{mk^6}{16} = \frac{4m^2 \cdot mk^6}{k^6 \cdot 16}$. Сгруппируем и упростим выражение. В числителе $m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$. Получаем $\frac{4m^3k^6}{16k^6}$. Сократим дробь: $k^6$ в числителе и знаменателе сокращаются. Коэффициенты $\frac{4}{16}$ сокращаются на 4, что дает $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{m^3}{4}$

3) Представим второй множитель в виде дроби: $7a = \frac{7a}{1}$. Теперь перемножим дроби: $\frac{a}{7b} \cdot \frac{7a}{1} = \frac{a \cdot 7a}{7b \cdot 1} = \frac{7a^2}{7b}$. Сократим общий множитель 7 в числителе и знаменателе.

Ответ: $\frac{a^2}{b}$

4) Представим первый множитель в виде дроби: $20x^{16} = \frac{20x^{16}}{1}$. Выполним умножение: $ \frac{20x^{16}}{1} \cdot \frac{y^4}{5x^4} = \frac{20x^{16}y^4}{5x^4}$. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{20}{5} = 4$. Сократим степени с основанием $x$: $\frac{x^{16}}{x^4} = x^{16-4} = x^{12}$.

Ответ: $4x^{12}y^4$

5) Умножим числители и знаменатели дробей: $\frac{17x^4}{y^8} \cdot \frac{y^6}{34x^7} = \frac{17x^4y^6}{34x^7y^8}$. Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные. Коэффициенты: $\frac{17}{34} = \frac{1}{2}$. Переменные $x$: $\frac{x^4}{x^7} = \frac{1}{x^{7-4}} = \frac{1}{x^3}$. Переменные $y$: $\frac{y^6}{y^8} = \frac{1}{y^{8-6}} = \frac{1}{y^2}$. Объединяем полученные результаты.

Ответ: $\frac{1}{2x^3y^2}$

6) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $\frac{8k^9}{9mp} \cdot \frac{81m^2}{56k^6p^2} = \frac{8k^9 \cdot 81m^2}{9mp \cdot 56k^6p^2}$. Для удобства сокращения, сгруппируем множители: $\frac{8 \cdot 81}{9 \cdot 56} \cdot \frac{m^2}{m} \cdot \frac{k^9}{k^6} \cdot \frac{1}{p \cdot p^2}$. Упростим каждую группу. Числовые коэффициенты: $\frac{81}{9}=9$ и $\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$, итого $\frac{9}{7}$. Переменные $m$: $\frac{m^2}{m} = m$. Переменные $k$: $\frac{k^9}{k^6} = k^{9-6} = k^3$. Переменные $p$: $\frac{1}{p \cdot p^2} = \frac{1}{p^{1+2}} = \frac{1}{p^3}$. Соберем все вместе.

Ответ: $\frac{9mk^3}{7p^3}$

155. Найдите частное:

1) $\frac{14}{a^2} : \frac{28}{a^6}$;

2) $\frac{b^5}{6} : \frac{b^3}{48}$;

3) $\frac{45}{m^8} : \frac{36}{m^7n^2}$;

4) $\frac{6x^7}{y^8} : (36x^7y^2)$;

5) $35m^4 : \frac{21m^3}{n^2}$;

6) $\frac{16a^3b^8}{33c^5} : \left(-\frac{12a^2}{55c^6}\right)$.

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{14}{a^2} : \frac{28}{a^6} = \frac{14}{a^2} \cdot \frac{a^6}{28} = \frac{14a^6}{28a^2} $

Сокращаем числовые коэффициенты (14 и 28 на 14) и степени с одинаковым основанием (используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ \frac{14a^6}{28a^2} = \frac{1 \cdot a^{6-2}}{2} = \frac{a^4}{2} $

Ответ: $ \frac{a^4}{2} $

2) Применяем правило деления дробей:

$ \frac{b^5}{6} : \frac{b^3}{48} = \frac{b^5}{6} \cdot \frac{48}{b^3} = \frac{48b^5}{6b^3} $

Сокращаем числовые коэффициенты (48 и 6 на 6) и переменные:

$ \frac{48b^5}{6b^3} = 8 \cdot b^{5-3} = 8b^2 $

Ответ: $ 8b^2 $

3) Выполняем деление, умножая на обратную дробь:

$ \frac{45}{m^8} : \frac{36}{m^7n^2} = \frac{45}{m^8} \cdot \frac{m^7n^2}{36} = \frac{45m^7n^2}{36m^8} $

Сокращаем коэффициенты 45 и 36 на их наибольший общий делитель, равный 9. Также сокращаем степени переменной $m$:

$ \frac{5 \cdot 9 \cdot m^7 n^2}{4 \cdot 9 \cdot m^8} = \frac{5n^2}{4m^{8-7}} = \frac{5n^2}{4m} $

Ответ: $ \frac{5n^2}{4m} $

4) Сначала представим выражение $36x^7y^2$ в виде дроби со знаменателем 1:

$ \frac{6x^7}{y^8} : (36x^7y^2) = \frac{6x^7}{y^8} : \frac{36x^7y^2}{1} $

Теперь делим дроби, умножая на обратную:

$ \frac{6x^7}{y^8} \cdot \frac{1}{36x^7y^2} = \frac{6x^7}{36x^7y^8y^2} $

Сокращаем коэффициенты (6 и 36 на 6), переменные $x$ и умножаем степени $y$ (используя свойство $y^m \cdot y^n = y^{m+n}$):

$ \frac{6x^7}{36x^7y^{8+2}} = \frac{1 \cdot x^{7-7}}{6y^{10}} = \frac{1 \cdot x^0}{6y^{10}} = \frac{1}{6y^{10}} $

Ответ: $ \frac{1}{6y^{10}} $

5) Представим одночлен $35m^4$ в виде дроби и выполним деление:

$ 35m^4 : \frac{21m^3}{n^2} = \frac{35m^4}{1} \cdot \frac{n^2}{21m^3} = \frac{35m^4n^2}{21m^3} $

Сокращаем числовые коэффициенты (35 и 21 на 7) и степени переменной $m$:

$ \frac{5 \cdot 7 \cdot m^{4-3} n^2}{3 \cdot 7} = \frac{5mn^2}{3} $

Ответ: $ \frac{5mn^2}{3} $

6) Выполняем деление дробей, не забывая про знак. Частное положительной и отрицательной дроби будет отрицательным.

$ \frac{16a^3b^8}{33c^5} : \left(-\frac{12a^2}{55c^6}\right) = - \left(\frac{16a^3b^8}{33c^5} \cdot \frac{55c^6}{12a^2}\right) = - \frac{16 \cdot 55 \cdot a^3b^8c^6}{33 \cdot 12 \cdot c^5a^2} $

Сокращаем числовые коэффициенты: $16$ и $12$ на $4$; $55$ и $33$ на $11$. Сокращаем степени переменных:

$ - \frac{4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot a^{3-2}b^8c^{6-5}}{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 4} = - \frac{4 \cdot 5 \cdot ab^8c}{3 \cdot 3} = -\frac{20ab^8c}{9} $

Ответ: $ -\frac{20ab^8c}{9} $

156. Упростите выражение:

1) $\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$;

2) $\frac{24b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b - 4}{3b}$;

3) $\frac{8}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$;

4) $\frac{3c + 6}{9c^2 - 6c + 1} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$;

5) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$;

6) $(p^2 - 36k^2) : \frac{p + 6k}{p}$;

7) $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b - a}$;

8) $\frac{a^4 - 16}{a^3 - 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2}$;

9) $\frac{a^2 - 7ab}{8b} : \frac{7b^2 - ab}{32a}$.

1) $\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$

Вынесем общий множитель 4 в числителе первой дроби: $4x + 4y = 4(x + y)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{4(x + y)}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{4(x + y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x + y)}$

Сократим общие множители $(x + y)$ в числителе и знаменателе. Также сократим $x^3$ и $x^6$:

$\frac{4}{x^{6-3}} = \frac{4}{x^3}$

Ответ: $\frac{4}{x^3}$

2) $\frac{24b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b - 4}{3b}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4)$

Подставим это в выражение:

$\frac{24b}{(b - 4)(b + 4)} \cdot \frac{b - 4}{3b}$

Перемножим дроби:

$\frac{24b \cdot (b - 4)}{(b - 4)(b + 4) \cdot 3b}$

Сократим общие множители $(b - 4)$ и $3b$. Учтем, что $\frac{24b}{3b} = 8$.

$\frac{8}{b + 4}$

Ответ: $\frac{8}{b + 4}$

3) $\frac{8}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$m^2 - 25n^2 = (m - 5n)(m + 5n)$

Представим выражение $(m - 5n)$ в виде дроби $\frac{m - 5n}{1}$ и подставим в исходное выражение:

$\frac{8}{(m - 5n)(m + 5n)} \cdot \frac{m - 5n}{1}$

Умножим дроби:

$\frac{8 \cdot (m - 5n)}{(m - 5n)(m + 5n)}$

Сократим общий множитель $(m - 5n)$:

$\frac{8}{m + 5n}$

Ответ: $\frac{8}{m + 5n}$

4) $\frac{3c + 6}{9c^2 - 6c + 1} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$

Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся 3 за скобки: $3c + 6 = 3(c + 2)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$9c^2 - 6c + 1 = (3c - 1)^2$

Подставим разложенные выражения:

$\frac{3(c + 2)}{(3c - 1)^2} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(c + 2)$ и $(3c - 1)$:

$\frac{3(c + 2)(3c - 1)}{(3c - 1)^2(c + 2)} = \frac{3}{3c - 1}$

Ответ: $\frac{3}{3c - 1}$

5) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} \cdot \frac{1}{a - 2}$

Разложим числитель первой дроби по формуле квадрата разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Подставим в выражение:

$\frac{(a - 2)^2}{a + 2} \cdot \frac{1}{a - 2}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{(a - 2)^2}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a - 2}{a + 2}$

Ответ: $\frac{a - 2}{a + 2}$

6) $(p^2 - 36k^2) : \frac{p + 6k}{p}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$(p^2 - 36k^2) \cdot \frac{p}{p + 6k}$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$p^2 - 36k^2 = (p - 6k)(p + 6k)$

Подставим в выражение:

$\frac{(p - 6k)(p + 6k)}{1} \cdot \frac{p}{p + 6k}$

Сократим общий множитель $(p + 6k)$:

$(p - 6k) \cdot p = p(p - 6k) = p^2 - 6pk$

Ответ: $p(p - 6k)$

7) $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b - a}$

Разложим числитель и знаменатель первой дроби по формулам разности и суммы кубов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Во второй дроби вынесем -1 из знаменателя: $b - a = -(a - b)$. Также учтем, что $b + a = a + b$.

Подставим все в исходное выражение:

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{a + b}{-(a - b)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(a - b)$ и $(a + b)$:

$\frac{(a^2 + ab + b^2)}{ (a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}$

Ответ: $-\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}$

8) $\frac{a^4 - 16}{a^3 - 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби как разность квадратов:

$a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся $a$ за скобки и применив формулу разности квадратов:

$a^3 - 4a = a(a^2 - 4) = a(a - 2)(a + 2)$

Подставим в выражение, учитывая, что $4 + a^2 = a^2 + 4$:

$\frac{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}{a(a - 2)(a + 2)} \cdot \frac{a}{a^2 + 4}$

Сократим все общие множители: $(a - 2)$, $(a + 2)$, $(a^2 + 4)$ и $a$:

$\frac{\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}\cancel{(a^2 + 4)}}{\cancel{a}\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{a^2 + 4}} = 1$

Ответ: $1$

9) $\frac{a^2 - 7ab}{8b} : \frac{7b^2 - ab}{32a}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 7ab}{8b} \cdot \frac{32a}{7b^2 - ab}$

Вынесем общие множители в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$a^2 - 7ab = a(a - 7b)$

$7b^2 - ab = b(7b - a)$

Подставим в выражение. Заметим, что $a - 7b = -(7b - a)$.

$\frac{a(a - 7b)}{8b} \cdot \frac{32a}{b(7b - a)} = \frac{a(-(7b - a))}{8b} \cdot \frac{32a}{b(7b - a)}$

Перемножим дроби:

$\frac{-a(7b - a) \cdot 32a}{8b \cdot b(7b - a)}$

Сократим общий множитель $(7b - a)$ и числовые коэффициенты $\frac{32}{8}=4$:

$\frac{-a \cdot 4a}{b \cdot b} = -\frac{4a^2}{b^2}$

Ответ: $-\frac{4a^2}{b^2}$