Страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

120. В течение первых 10 дней мая температура воздуха в 6 ч утра была такой: $16^\circ C$, $14^\circ C$, $12^\circ C$, $16^\circ C$, $15^\circ C$, $15^\circ C$, $13^\circ C$, $15^\circ C$, $17^\circ C$, $14^\circ C$. Найдите меры центральной тенденции полученной совокупности данных. Заполните частотную таблицу:

Температура воздуха, $^\circ C$

Частота

Относительная частота, %

Найдите меры центральной тенденции полученной совокупности данных.

Исходная совокупность данных о температуре за 10 дней: 16, 14, 12, 16, 15, 15, 13, 15, 17, 14. Общее количество значений $n=10$.

Мерами центральной тенденции являются среднее арифметическое, медиана и мода.

1. Среднее арифметическое – это отношение суммы всех значений данных к их количеству.
Сумма всех значений: $16 + 14 + 12 + 16 + 15 + 15 + 13 + 15 + 17 + 14 = 147$.
Среднее арифметическое: $ \bar{x} = \frac{147}{10} = 14.7 $ °C.

2. Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.
Сначала упорядочим ряд по возрастанию: 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17.
Поскольку количество элементов в ряду чётное (10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (5-го и 6-го).
Медиана: $ Me = \frac{15 + 15}{2} = 15 $ °C.

3. Мода – это значение, которое встречается в ряду данных наиболее часто.
Подсчитаем частоту каждого значения:
12 °C – 1 раз;
13 °C – 1 раз;
14 °C – 2 раза;
15 °C – 3 раза;
16 °C – 2 раза;
17 °C – 1 раз.
Наиболее часто встречается значение 15 °C.
Мода: $ Mo = 15 $ °C.

Ответ: среднее арифметическое – 14.7 °C, медиана – 15 °C, мода – 15 °C.

Заполните частотную таблицу:

Для заполнения таблицы необходимо для каждого уникального значения температуры найти его частоту и относительную частоту.

Частота – это количество повторений значения в выборке.
Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных, выраженное в процентах. Формула: $ \text{Относительная частота} = \frac{\text{Частота}}{n} \times 100\% $, где $n=10$.

Расчеты для каждого значения:
• Для 12 °C: частота = 1, относительная частота = $ \frac{1}{10} \times 100\% = 10\% $.
• Для 13 °C: частота = 1, относительная частота = $ \frac{1}{10} \times 100\% = 10\% $.
• Для 14 °C: частота = 2, относительная частота = $ \frac{2}{10} \times 100\% = 20\% $.
• Для 15 °C: частота = 3, относительная частота = $ \frac{3}{10} \times 100\% = 30\% $.
• Для 16 °C: частота = 2, относительная частота = $ \frac{2}{10} \times 100\% = 20\% $.
• Для 17 °C: частота = 1, относительная частота = $ \frac{1}{10} \times 100\% = 10\% $.

Ответ:

121. Учёт посещаемости школы 24 учащимися 11 класса показал, что в первом полугодии ими было пропущено следующее количество дней: 4, 1, 4, 1, 4, 5, 4, 2, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 8, 4, 3.

1) Составьте частотную таблицу.

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

В условии задачи указано, что выборка состоит из данных по 24 учащимся, однако в предоставленном списке количества пропущенных дней содержится только 22 числовых значения. Это позволяет сделать вывод, что $24 - 22 = 2$ учащихся не пропустили ни одного учебного дня. Таким образом, для корректного анализа мы добавляем два значения «0» (ноль пропущенных дней) в исходную выборку. В результате мы работаем с полной выборкой из 24 элементов.

Полная выборка данных о количестве пропущенных дней для 24 учащихся: 4, 1, 4, 1, 4, 5, 4, 2, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 8, 4, 3, 0, 0.

Для составления частотной таблицы необходимо сгруппировать данные из полной выборки и подсчитать, сколько раз каждое значение (количество пропущенных дней) встречается в ряду. Это значение называется частотой.

Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию для удобства подсчета:

0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8.

Теперь подсчитаем частоту ($n_i$) для каждого уникального значения ($x_i$):

• Значение 0 (дней) встречается 2 раза.
• Значение 1 (день) встречается 3 раза.
• Значение 2 (дня) встречается 2 раза.
• Значение 3 (дня) встречается 5 раз.
• Значение 4 (дня) встречается 8 раз.
• Значение 5 (дней) встречается 3 раза.
• Значение 8 (дней) встречается 1 раз.

Сумма всех частот: $2 + 3 + 2 + 5 + 8 + 3 + 1 = 24$, что соответствует общему числу учащихся.

На основе этих данных составим частотную таблицу:

Ответ: Частотная таблица для данной выборки представлена выше.

Мода — это значение в выборке, которое имеет наибольшую частоту. Глядя на частотную таблицу, мы видим, что максимальная частота равна 8. Этой частоте соответствует значение 4 (пропущенных дня). Таким образом, мода данной выборки — 4.

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле средневзвешенного значения:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — варианты (уникальные значения), $n_i$ — соответствующие им частоты, $N$ — общий объём выборки.

Вычислим сумму произведений значений на их частоты ($\sum x_i n_i$):

$\sum x_i n_i = (0 \cdot 2) + (1 \cdot 3) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 8) + (5 \cdot 3) + (8 \cdot 1) = 0 + 3 + 4 + 15 + 32 + 15 + 8 = 77$

Объём выборки $N = 24$.

Теперь найдём среднее значение:

$\bar{x} = \frac{77}{24} \approx 3.21$

Ответ: Среднее значение равно $\frac{77}{24}$ (приблизительно 3,21), мода равна 4.

Гистограмма частот для дискретного ряда данных представляет собой столбчатую диаграмму. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант (количество пропущенных дней), а по вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им частоты. Высота каждого столбца равна частоте соответствующего значения.

Ответ: Соответствующая гистограмма (столбчатая диаграмма) построена выше.

122. На подносе лежат 3 яблока, 2 груши и 7 абрикосов. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт окажется яблоком?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$).

Формула для вычисления вероятности:$P = \frac{m}{n}$

1. Сначала найдем общее число всех фруктов на подносе. Это будет общее число возможных исходов ($n$).$n = 3 \text{ (яблока)} + 2 \text{ (груши)} + 7 \text{ (абрикосов)} = 12$Всего на подносе 12 фруктов.

2. Далее определим количество исходов, благоприятствующих событию «выбранный фрукт окажется яблоком». Это число равно количеству яблок на подносе ($m$).$m = 3$

3. Теперь подставим найденные значения в формулу вероятности:$P(\text{выбрать яблоко}) = \frac{m}{n} = \frac{3}{12}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Вероятность также можно представить в виде десятичной дроби: $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

123. Из множества чётных натуральных чисел, меньших 20, наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что выбранное число будет делиться нацело на 7?

Для нахождения вероятности события необходимо определить общее количество равновозможных исходов и количество исходов, благоприятствующих этому событию.

1. Сначала определим множество, из которого производится выбор. Это множество чётных натуральных чисел, меньших 20. Выпишем все элементы этого множества:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Общее число возможных исходов $n$ равно количеству элементов в этом множестве. Посчитав их, получаем $n = 9$.

2. Далее определим, какое событие является благоприятным. Благоприятный исход — это выбор числа, которое делится нацело на 7. Проверим каждое число из нашего множества:

Из чисел {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} на 7 без остатка делится только число 14.

Таким образом, количество благоприятных исходов $m = 1$.

3. Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n}$

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу:

$P = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

124. На двух параллельных прямых обозначили точки – $3$ на одной и $1$ на второй. Из этих $4$ точек наугад выбирают три. Какова вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника?

Для решения задачи нужно найти общее число возможных исходов (способов выбрать 3 точки из 4) и число благоприятных исходов (способов выбрать 3 точки так, чтобы они образовали треугольник). Вероятность будет отношением благоприятных исходов к общему числу исходов.

Всего в задаче дано $3 + 1 = 4$ точки.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 точки из 4.
Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n=4$ (всего точек), $k=3$ (выбираем точек).
Общее число исходов $N_{общ}$ равно:
$N_{общ} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.
Таким образом, существует всего 4 различных способа выбрать 3 точки из 4.

2. Найдем число благоприятных исходов.
Три точки образуют треугольник только в том случае, если они не лежат на одной прямой (не являются коллинеарными).
Выясним, в каких случаях выбранные 3 точки могут лежать на одной прямой. Это возможно только тогда, когда все три точки взяты с первой прямой, на которой как раз находится 3 точки.
Число способов выбрать 3 точки, лежащие на одной прямой, равно числу способов выбрать 3 точки из 3, имеющихся на первой прямой:
$N_{небл} = C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1$.
Это единственный неблагоприятный исход, так как на второй прямой всего одна точка, и выбрать там три точки невозможно.
Число благоприятных исходов (когда точки образуют треугольник) можно найти, вычтя из общего числа исходов число неблагоприятных:
$N_{бл} = N_{общ} - N_{небл} = 4 - 1 = 3$.

3. Найдем вероятность.
Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

125. Одновременно подбросили 3 монеты. Какова вероятность того, что ровно на двух из этих монет выпадает герб?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество возможных исходов и количество исходов, которые удовлетворяют заданному условию.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.

Каждая монета имеет два возможных исхода: герб (Г) или решка (Р). Поскольку подбрасываются три монеты, и результаты их бросков независимы друг от друга, общее число всех комбинаций равно произведению числа исходов для каждой монеты:

$n = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Вот все возможные комбинации исходов:

• ГГГ
• ГГР
• ГРГ
• РГГ
• ГРР
• РГР
• РРГ
• РРР

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятным исходом является событие, при котором ровно на двух монетах выпадает герб. Из приведенного выше списка выберем те комбинации, где буква "Г" встречается ровно два раза:

• ГГР
• ГРГ
• РГГ

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 3$.

3. Рассчитаем вероятность.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Подставим наши значения:

$P = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

126. Два игральных кубика подбросили одновременно. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на кубиках, равняется 8?

Для определения вероятности события необходимо найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдём общее число исходов.
При броске первого игрального кубика может выпасть 6 различных вариантов (от 1 до 6). Аналогично, для второго кубика также существует 6 вариантов. Поскольку броски кубиков являются независимыми событиями, общее число всех возможных комбинаций (исходов) равно произведению числа вариантов для каждого кубика.
Общее число исходов $N = 6 \times 6 = 36$.

2. Найдём число благоприятных исходов.
Благоприятным исходом является событие, при котором сумма очков на двух кубиках равна 8. Перечислим все пары чисел, которые в сумме дают 8 (первое число — очки на первом кубике, второе — на втором):

• 2 + 6 = 8 (комбинация 2, 6)
• 3 + 5 = 8 (комбинация 3, 5)
• 4 + 4 = 8 (комбинация 4, 4)
• 5 + 3 = 8 (комбинация 5, 3)
• 6 + 2 = 8 (комбинация 6, 2)

Таким образом, существует 5 комбинаций, удовлетворяющих условию. Число благоприятных исходов $m = 5$.

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ события вычисляется по формуле:
$P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.
Подставим наши значения:
$P = \frac{5}{36}$

Ответ: $\frac{5}{36}$

127. Игральный кубик подбросили 7 раз, и при этом каждый раз выпадала шестёрка. Какова вероятность того, что при следующем подбрасывании выпадет ещё одна шестёрка?

Эта задача проверяет понимание концепции независимых событий в теории вероятностей. Каждый бросок стандартного игрального кубика является событием, которое не зависит от результатов предыдущих бросков.

То, что шестёрка выпала 7 раз подряд, является уже свершившимся фактом и никак не влияет на вероятность исходов следующего, восьмого, броска. Кубик не имеет "памяти", поэтому вероятность выпадения любой из его граней остаётся неизменной при каждом новом броске. Представление о том, что после серии одинаковых результатов вероятность другого исхода увеличивается (или, наоборот, уменьшается), является распространённым заблуждением, известным как "ошибка игрока".

Рассчитаем вероятность выпадения шестёрки при одном броске игрального кубика.

Общее число возможных исходов при броске кубика равно 6, так как у кубика 6 граней (1, 2, 3, 4, 5, 6). Обозначим это как $n=6$.

Благоприятным исходом в данном случае является выпадение шестёрки. Такой исход только один. Обозначим это как $m=1$.

Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов: $P = \frac{m}{n}$

Подставляя наши значения, получаем: $P = \frac{1}{6}$

Следовательно, вероятность того, что при следующем подбрасывании выпадет ещё одна шестёрка, остаётся такой же, как и при любом другом броске.

Ответ: $\frac{1}{6}$

128. В 11 «А» классе учатся 24 школьника. Ученики этого класса Витя и Максим вместе со своими одноклассниками пошли в кинотеатр. Ряд кинотеатра содержит 24 места, на которые случайным образом расселись 24 школьника. Какова вероятность того, что Витя и Максим будут сидеть рядом?

Для решения этой задачи мы используем классическое определение вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов (N). У нас есть 24 школьника и 24 места в ряду. Общее число способов рассадить 24 человека на 24 места равно числу перестановок из 24 элементов. $N = P_{24} = 24!$

2. Найдём число благоприятных исходов (M). Благоприятный исход — это когда Витя и Максим сидят рядом. Чтобы посчитать такие исходы, мы можем мысленно объединить Витю и Максима в одну группу. Теперь нам нужно рассадить не 24 отдельных человека, а 23 объекта: 22 школьника и одну группу (Витя и Максим).

Число способов рассадить эти 23 объекта равно числу перестановок из 23 элементов: $P_{23} = 23!$.

Однако внутри нашей группы Витя и Максим могут сидеть двумя способами: «Витя, Максим» или «Максим, Витя». Таким образом, для каждого расположения группы есть 2 варианта расположения самих мальчиков.

Поэтому число благоприятных исходов равно: $M = 23! \times 2$

3. Вычислим вероятность. Теперь мы можем найти вероятность того, что Витя и Максим будут сидеть рядом, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов. $P = \frac{M}{N} = \frac{23! \times 2}{24!}$

Зная, что $24! = 24 \times 23!$, мы можем упростить выражение: $P = \frac{23! \times 2}{24 \times 23!} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Альтернативное решение: Рассмотрим одного из учеников, например, Витю. Пусть он сядет на любое случайное место. Для Максима остается 23 свободных места.

Сколько из этих 23 мест являются «благоприятными», то есть находятся рядом с Витей?

• Если Витя сел на одно из крайних мест (1-е или 24-е), то рядом с ним есть только одно место. Вероятность сесть на крайнее место $2/24$.
• Если Витя сел на любое место в середине (со 2-го по 23-е), то рядом с ним есть два места (слева и справа). Вероятность сесть на место в середине $22/24$.

Однако можно рассуждать проще. Пусть Витя уже сел. Для Максима есть 23 возможных места. Сколько из них соседние с Витей? В ряду из 24 мест есть 23 пары соседних мест. Всего же пар мест, которые могут занять Витя и Максим, можно выбрать $C_{24}^2 = \frac{24 \times 23}{2} = 276$ способами.

Число благоприятных пар мест (соседних) равно 23.

Вероятность: $P = \frac{23}{276} = \frac{23}{12 \times 23} = \frac{1}{12}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{1}{12}$

129. На окружности и прямой, не пересекающей эту окружность, обозначили 12 точек – 5 на окружности и 7 на прямой. Из этих 12 точек наугад выбирают три. Какова вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника?

$P = \frac{\binom{12}{3} - \binom{7}{3}}{\binom{12}{3}}$

Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 точки из 12. Это число сочетаний из 12 по 3, так как порядок выбора точек не важен. $N = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.
Таким образом, всего существует 220 способов выбрать 3 точки из 12.

2. Найдем число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является выбор трех точек, которые образуют треугольник. Три точки образуют треугольник в том и только в том случае, если они не лежат на одной прямой (не коллинеарны).

Проще найти число неблагоприятных исходов — случаев, когда три точки не образуют треугольник. Это произойдет, если все три выбранные точки лежат на одной прямой.

Согласно условию, у нас есть 7 точек, лежащих на одной прямой. Выбрать 3 точки, лежащие на одной прямой, можно только из этого набора. Число таких способов равно: $N_{небл} = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Любые три точки, взятые с окружности, не лежат на одной прямой. Также не лежат на одной прямой две точки с окружности и одна с прямой, или одна с окружности и две с прямой.

3. Число благоприятных исходов $M$ равно разности общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов: $M = N - N_{небл} = 220 - 35 = 185$.

4. Теперь можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{185}{220}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $P = \frac{185 \div 5}{220 \div 5} = \frac{37}{44}$.

Ответ: $\frac{37}{44}$