Номер 121, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 121, страница 221.

121. Учёт посещаемости школы 24 учащимися 11 класса показал, что в первом полугодии ими было пропущено следующее количество дней: 4, 1, 4, 1, 4, 5, 4, 2, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 8, 4, 3.

1) Составьте частотную таблицу.

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

В условии задачи указано, что выборка состоит из данных по 24 учащимся, однако в предоставленном списке количества пропущенных дней содержится только 22 числовых значения. Это позволяет сделать вывод, что $24 - 22 = 2$ учащихся не пропустили ни одного учебного дня. Таким образом, для корректного анализа мы добавляем два значения «0» (ноль пропущенных дней) в исходную выборку. В результате мы работаем с полной выборкой из 24 элементов.

Полная выборка данных о количестве пропущенных дней для 24 учащихся: 4, 1, 4, 1, 4, 5, 4, 2, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 8, 4, 3, 0, 0.

1) Составьте частотную таблицу.

Для составления частотной таблицы необходимо сгруппировать данные из полной выборки и подсчитать, сколько раз каждое значение (количество пропущенных дней) встречается в ряду. Это значение называется частотой.

Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию для удобства подсчета:

0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8.

Теперь подсчитаем частоту ($n_i$) для каждого уникального значения ($x_i$):

• Значение 0 (дней) встречается 2 раза.
• Значение 1 (день) встречается 3 раза.
• Значение 2 (дня) встречается 2 раза.
• Значение 3 (дня) встречается 5 раз.
• Значение 4 (дня) встречается 8 раз.
• Значение 5 (дней) встречается 3 раза.
• Значение 8 (дней) встречается 1 раз.

Сумма всех частот: $2 + 3 + 2 + 5 + 8 + 3 + 1 = 24$, что соответствует общему числу учащихся.

На основе этих данных составим частотную таблицу:

Количество пропущенных дней ($x_i$)	Частота ($n_i$)
0	2
1	3
2	2
3	5
4	8
5	3
8	1
Итого	24

Ответ: Частотная таблица для данной выборки представлена выше.

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

Мода — это значение в выборке, которое имеет наибольшую частоту. Глядя на частотную таблицу, мы видим, что максимальная частота равна 8. Этой частоте соответствует значение 4 (пропущенных дня). Таким образом, мода данной выборки — 4.

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле средневзвешенного значения:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — варианты (уникальные значения), $n_i$ — соответствующие им частоты, $N$ — общий объём выборки.

Вычислим сумму произведений значений на их частоты ($\sum x_i n_i$):

$\sum x_i n_i = (0 \cdot 2) + (1 \cdot 3) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 8) + (5 \cdot 3) + (8 \cdot 1) = 0 + 3 + 4 + 15 + 32 + 15 + 8 = 77$

Объём выборки $N = 24$.

Теперь найдём среднее значение:

$\bar{x} = \frac{77}{24} \approx 3.21$

Ответ: Среднее значение равно $\frac{77}{24}$ (приблизительно 3,21), мода равна 4.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

Гистограмма частот для дискретного ряда данных представляет собой столбчатую диаграмму. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант (количество пропущенных дней), а по вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им частоты. Высота каждого столбца равна частоте соответствующего значения.

Частота Количество пропущенных дней

0

2

4

6

8

2

0

3

1

2

2

5

3

8

4

3

5

1

8

Ответ: Соответствующая гистограмма (столбчатая диаграмма) построена выше.