Номер 128, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Элементы статистики и теории вероятности - номер 128, страница 221.

Учебник.

128. В 11 «А» классе учатся 24 школьника. Ученики этого класса Витя и Максим вместе со своими одноклассниками пошли в кинотеатр. Ряд кинотеатра содержит 24 места, на которые случайным образом расселись 24 школьника. Какова вероятность того, что Витя и Максим будут сидеть рядом?

Решение 2.

Для решения этой задачи мы используем классическое определение вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов (N). У нас есть 24 школьника и 24 места в ряду. Общее число способов рассадить 24 человека на 24 места равно числу перестановок из 24 элементов. $N = P_{24} = 24!$

2. Найдём число благоприятных исходов (M). Благоприятный исход — это когда Витя и Максим сидят рядом. Чтобы посчитать такие исходы, мы можем мысленно объединить Витю и Максима в одну группу. Теперь нам нужно рассадить не 24 отдельных человека, а 23 объекта: 22 школьника и одну группу (Витя и Максим).

Число способов рассадить эти 23 объекта равно числу перестановок из 23 элементов: $P_{23} = 23!$.

Однако внутри нашей группы Витя и Максим могут сидеть двумя способами: «Витя, Максим» или «Максим, Витя». Таким образом, для каждого расположения группы есть 2 варианта расположения самих мальчиков.

Поэтому число благоприятных исходов равно: $M = 23! \times 2$

3. Вычислим вероятность. Теперь мы можем найти вероятность того, что Витя и Максим будут сидеть рядом, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов. $P = \frac{M}{N} = \frac{23! \times 2}{24!}$

Зная, что $24! = 24 \times 23!$, мы можем упростить выражение: $P = \frac{23! \times 2}{24 \times 23!} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Альтернативное решение: Рассмотрим одного из учеников, например, Витю. Пусть он сядет на любое случайное место. Для Максима остается 23 свободных места.

Сколько из этих 23 мест являются «благоприятными», то есть находятся рядом с Витей?

• Если Витя сел на одно из крайних мест (1-е или 24-е), то рядом с ним есть только одно место. Вероятность сесть на крайнее место $2/24$.
• Если Витя сел на любое место в середине (со 2-го по 23-е), то рядом с ним есть два места (слева и справа). Вероятность сесть на место в середине $22/24$.

Однако можно рассуждать проще. Пусть Витя уже сел. Для Максима есть 23 возможных места. Сколько из них соседние с Витей? В ряду из 24 мест есть 23 пары соседних мест. Всего же пар мест, которые могут занять Витя и Максим, можно выбрать $C_{24}^2 = \frac{24 \times 23}{2} = 276$ способами.

Число благоприятных пар мест (соседних) равно 23.

Вероятность: $P = \frac{23}{276} = \frac{23}{12 \times 23} = \frac{1}{12}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{1}{12}$