Номер 134, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 134, страница 222.

134. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что при этом выпало не меньше 4 гербов, если известно, что в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов.

Это задача на условную вероятность. Пусть событие A — «при 5 подбрасываниях выпало не меньше 4 гербов», а событие B — «в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов». Нам нужно найти вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, то есть $P(A|B)$.

Для решения задачи рассмотрим все элементарные исходы, которые удовлетворяют условию B. Это будет наше новое, сокращённое пространство исходов. Обозначим выпадение герба буквой «Г», а решки — «Р».

Условие B: «в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов». Это означает две возможные ситуации для первых четырёх бросков:

1. Выпало ровно 3 герба.
   Количество таких комбинаций можно найти по формуле числа сочетаний: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
   Это следующие комбинации: ГГГР, ГГРГ, ГРГГ, РГГГ.

2. Выпало ровно 4 герба.
   Количество таких комбинаций: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$.
   Это комбинация: ГГГГ.

Таким образом, существует $4 + 1 = 5$ возможных исходов для первых четырёх бросков, удовлетворяющих условию B. Пятый бросок может быть как гербом, так и решкой. Следовательно, общее число исходов в нашем сокращённом пространстве равно $5 \times 2 = 10$. Все эти 10 исходов равновероятны.

Теперь из этих 10 исходов нам нужно выбрать те, которые удовлетворяют событию A: «при 5 подбрасываниях выпало не меньше 4 гербов».

Рассмотрим исходы из пункта 1 (3 герба в первых 4 бросках). Чтобы общее число гербов было не меньше 4, пятый бросок обязательно должен быть гербом (Г):
ГГГР + Г → ГГГРГ (4 герба)
ГГРГ + Г → ГГРГГ (4 герба)
ГРГГ + Г → ГРГГГ (4 герба)
РГГГ + Г → РГГГГ (4 герба)
Получаем 4 благоприятных исхода.

Рассмотрим исходы из пункта 2 (4 герба в первых 4 бросках). Здесь пятый бросок может быть любым, так как условие «не меньше 4 гербов» уже выполнено:
ГГГГ + Г → ГГГГГ (5 гербов)
ГГГГ + Р → ГГГГР (4 герба)
Получаем ещё 2 благоприятных исхода.

Суммарное количество благоприятных исходов равно $4 + 2 = 6$.
Общее количество исходов в сокращённом пространстве равно 10.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в сокращённом пространстве:
$P(A|B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $3/5$