Номер 135, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 135, страница 222.

135. Стрелок попадает в цель с вероятностью 80%. Какова вероятность того, что из 5 независимых выстрелов, произведённых этим стрелком, в цель попадут ровно 4?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет вид:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Где:

• $n$ — общее количество испытаний (в данном случае — выстрелов), $n=5$.
• $k$ — количество желаемых «успешных» исходов (попаданий), $k=4$.
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность попадания), $p = 80\% = 0.8$.
• $q$ — вероятность «неудачи» (промаха), которая вычисляется как $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Вычислим число сочетаний $C_5^4$:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 5$

Это означает, что существует 5 различных последовательностей выстрелов, в которых будет ровно 4 попадания и 1 промах (например, ППППМ, ПППМП, и так далее).

2. Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1$

3. Произведем вычисления:

Сначала возводим вероятности в нужные степени:

$(0.8)^4 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.4096$

$(0.2)^1 = 0.2$

Теперь перемножаем все полученные значения:

$P_5(4) = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 2.048 \cdot 0.2 = 0.4096$

Ответ: 0,4096