Номер 129, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 129, страница 221.

129. На окружности и прямой, не пересекающей эту окружность, обозначили 12 точек – 5 на окружности и 7 на прямой. Из этих 12 точек наугад выбирают три. Какова вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника?

$P = \frac{\binom{12}{3} - \binom{7}{3}}{\binom{12}{3}}$

Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 точки из 12. Это число сочетаний из 12 по 3, так как порядок выбора точек не важен. $N = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.
Таким образом, всего существует 220 способов выбрать 3 точки из 12.

2. Найдем число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является выбор трех точек, которые образуют треугольник. Три точки образуют треугольник в том и только в том случае, если они не лежат на одной прямой (не коллинеарны).

Проще найти число неблагоприятных исходов — случаев, когда три точки не образуют треугольник. Это произойдет, если все три выбранные точки лежат на одной прямой.

Согласно условию, у нас есть 7 точек, лежащих на одной прямой. Выбрать 3 точки, лежащие на одной прямой, можно только из этого набора. Число таких способов равно: $N_{небл} = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Любые три точки, взятые с окружности, не лежат на одной прямой. Также не лежат на одной прямой две точки с окружности и одна с прямой, или одна с окружности и две с прямой.

3. Число благоприятных исходов $M$ равно разности общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов: $M = N - N_{небл} = 220 - 35 = 185$.

4. Теперь можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{185}{220}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $P = \frac{185 \div 5}{220 \div 5} = \frac{37}{44}$.

Ответ: $\frac{37}{44}$