Номер 131, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 131, страница 222.

131. Андрей родился в ноябре. Найдите вероятность того, что среди четырёх его друзей найдётся кто-то, родившийся с Андреем в одном месяце.

Для решения этой задачи удобно использовать метод от противного. Мы найдем вероятность события, противоположного искомому, а затем вычтем полученное значение из единицы.

Искомое событие A заключается в том, что "среди четырёх друзей Андрея найдётся хотя бы один, родившийся в ноябре".

Противоположное событие A' заключается в том, что "ни один из четырёх друзей не родился в ноябре".

Вероятность искомого события можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(A')$.

Предположим, что рождение в любом из 12 месяцев года равновероятно. Вероятность того, что человек родился в конкретном месяце (в данном случае, в ноябре), равна $\frac{1}{12}$.

Соответственно, вероятность того, что человек родился не в ноябре, равна $1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Поскольку месяцы рождения четырёх друзей — это независимые события, вероятность того, что все четверо не родились в ноябре, равна произведению вероятностей для каждого из них:

$P(A') = \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} = \left(\frac{11}{12}\right)^4$.

Теперь найдем вероятность искомого события A:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \left(\frac{11}{12}\right)^4 = 1 - \frac{11^4}{12^4} = 1 - \frac{14641}{20736}$.

Выполним вычитание:

$P(A) = \frac{20736 - 14641}{20736} = \frac{6095}{20736}$.

Ответ: $\frac{6095}{20736}$