Страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

130. Вероятность того, что изготовленная деталь будет бракованной, составляет 0,5%. Найдите вероятность того, что из трёх наугад выбранных деталей не будет ни одной бракованной.

Пусть событие, при котором изготовленная деталь является бракованной, обозначается как A. По условию задачи, вероятность этого события составляет 0,5%.

Для математических расчетов необходимо перевести процентное значение вероятности в десятичную дробь: $P(A) = 0,5\% = \frac{0,5}{100} = 0,005$.

Событие, при котором деталь не является бракованной, является противоположным событию A. Обозначим его как $\bar{A}$. Вероятность противоположного события находится по формуле: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Подставим известное значение: $P(\bar{A}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Таким образом, вероятность того, что одна случайно выбранная деталь не будет бракованной, равна 0,995.

Нам нужно найти вероятность того, что из трех наугад выбранных деталей ни одна не будет бракованной. Это означает, что первая деталь должна быть небракованной, И вторая деталь небракованной, И третья деталь небракованной. Поскольку качество каждой детали не зависит от качества других (события являются независимыми), итоговая вероятность будет равна произведению вероятностей этих трех событий.

Вероятность того, что все три детали небракованные, вычисляется как: $P(\text{три небракованные}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{A}) \times P(\bar{A}) = (P(\bar{A}))^3 = (0,995)^3$.

Произведем вычисление: $(0,995)^3 = 0,995 \times 0,995 \times 0,995 = 0,990025 \times 0,995 = 0,985074875$.

Ответ: $0,985074875$.

131. Андрей родился в ноябре. Найдите вероятность того, что среди четырёх его друзей найдётся кто-то, родившийся с Андреем в одном месяце.

Для решения этой задачи удобно использовать метод от противного. Мы найдем вероятность события, противоположного искомому, а затем вычтем полученное значение из единицы.

Искомое событие A заключается в том, что "среди четырёх друзей Андрея найдётся хотя бы один, родившийся в ноябре".

Противоположное событие A' заключается в том, что "ни один из четырёх друзей не родился в ноябре".

Вероятность искомого события можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(A')$.

Предположим, что рождение в любом из 12 месяцев года равновероятно. Вероятность того, что человек родился в конкретном месяце (в данном случае, в ноябре), равна $\frac{1}{12}$.

Соответственно, вероятность того, что человек родился не в ноябре, равна $1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Поскольку месяцы рождения четырёх друзей — это независимые события, вероятность того, что все четверо не родились в ноябре, равна произведению вероятностей для каждого из них:

$P(A') = \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{11}{12} = \left(\frac{11}{12}\right)^4$.

Теперь найдем вероятность искомого события A:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \left(\frac{11}{12}\right)^4 = 1 - \frac{11^4}{12^4} = 1 - \frac{14641}{20736}$.

Выполним вычитание:

$P(A) = \frac{20736 - 14641}{20736} = \frac{6095}{20736}$.

Ответ: $\frac{6095}{20736}$

132. В магазине обуви «Богатырь» предлагается обувь 44 размера и выше. Вероятность того, что в определённый день будет продана пара обуви 46 размера, равна 24%, 47 размера – 15%, 48 и выше – 39%. Найдите вероятность того, что в этот день будет продана пара обуви 46 размера и выше.

Для решения задачи необходимо найти вероятность события, которое заключается в том, что будет продана пара обуви 46 размера или 47 размера, или 48 размера и выше.

Введем обозначения для событий:

• Событие $A$: продана пара обуви 46 размера. Вероятность этого события $P(A) = 24\% = 0,24$.
• Событие $B$: продана пара обуви 47 размера. Вероятность этого события $P(B) = 15\% = 0,15$.
• Событие $C$: продана пара обуви 48 размера и выше. Вероятность этого события $P(C) = 39\% = 0,39$.

События $A$, $B$ и $C$ являются несовместными, так как проданная пара обуви не может быть одновременно разных размеров (например, и 46-го, и 47-го).

Искомая вероятность того, что будет продана пара обуви 46 размера и выше, является вероятностью наступления хотя бы одного из этих событий (события $A$, или $B$, или $C$). Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.

$P(A \text{ или } B \text{ или } C) = P(A) + P(B) + P(C)$

Подставим числовые значения:
$P = 0,24 + 0,15 + 0,39 = 0,78$

Ответ: 0,78.

133. Вероятность того, что наугад выбранный мужчина носит усы – 12%, бороду – 8%, усы и бороду одновременно – 6%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный мужчина носит усы или бороду.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• Событие A: у наугад выбранного мужчины есть усы.
• Событие B: у наугад выбранного мужчины есть борода.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность события A: $P(A) = 12\% = 0.12$
• Вероятность события B: $P(B) = 8\% = 0.08$
• Вероятность того, что происходят оба события одновременно (мужчина носит и усы, и бороду), то есть вероятность пересечения событий A и B: $P(A \cap B) = 6\% = 0.06$

Нам необходимо найти вероятность того, что наугад выбранный мужчина носит усы или бороду. Это соответствует вероятности объединения событий A и B, то есть $P(A \cup B)$.

События A и B являются совместными, так как мужчина может носить и усы, и бороду одновременно. Для нахождения вероятности объединения двух совместных событий используется формула сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим в эту формулу известные значения:

$P(A \cup B) = 0.12 + 0.08 - 0.06$

Выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 0.20 - 0.06 = 0.14$

Таким образом, вероятность того, что у наугад выбранного мужчины есть усы или борода, равна 0.14.

Ответ: 0.14

134. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что при этом выпало не меньше 4 гербов, если известно, что в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов.

Это задача на условную вероятность. Пусть событие A — «при 5 подбрасываниях выпало не меньше 4 гербов», а событие B — «в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов». Нам нужно найти вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, то есть $P(A|B)$.

Для решения задачи рассмотрим все элементарные исходы, которые удовлетворяют условию B. Это будет наше новое, сокращённое пространство исходов. Обозначим выпадение герба буквой «Г», а решки — «Р».

Условие B: «в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов». Это означает две возможные ситуации для первых четырёх бросков:

1. Выпало ровно 3 герба.
   Количество таких комбинаций можно найти по формуле числа сочетаний: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
   Это следующие комбинации: ГГГР, ГГРГ, ГРГГ, РГГГ.

2. Выпало ровно 4 герба.
   Количество таких комбинаций: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$.
   Это комбинация: ГГГГ.

Таким образом, существует $4 + 1 = 5$ возможных исходов для первых четырёх бросков, удовлетворяющих условию B. Пятый бросок может быть как гербом, так и решкой. Следовательно, общее число исходов в нашем сокращённом пространстве равно $5 \times 2 = 10$. Все эти 10 исходов равновероятны.

Теперь из этих 10 исходов нам нужно выбрать те, которые удовлетворяют событию A: «при 5 подбрасываниях выпало не меньше 4 гербов».

Рассмотрим исходы из пункта 1 (3 герба в первых 4 бросках). Чтобы общее число гербов было не меньше 4, пятый бросок обязательно должен быть гербом (Г):
ГГГР + Г → ГГГРГ (4 герба)
ГГРГ + Г → ГГРГГ (4 герба)
ГРГГ + Г → ГРГГГ (4 герба)
РГГГ + Г → РГГГГ (4 герба)
Получаем 4 благоприятных исхода.

Рассмотрим исходы из пункта 2 (4 герба в первых 4 бросках). Здесь пятый бросок может быть любым, так как условие «не меньше 4 гербов» уже выполнено:
ГГГГ + Г → ГГГГГ (5 гербов)
ГГГГ + Р → ГГГГР (4 герба)
Получаем ещё 2 благоприятных исхода.

Суммарное количество благоприятных исходов равно $4 + 2 = 6$.
Общее количество исходов в сокращённом пространстве равно 10.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в сокращённом пространстве:
$P(A|B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $3/5$

135. Стрелок попадает в цель с вероятностью 80%. Какова вероятность того, что из 5 независимых выстрелов, произведённых этим стрелком, в цель попадут ровно 4?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет вид:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Где:

• $n$ — общее количество испытаний (в данном случае — выстрелов), $n=5$.
• $k$ — количество желаемых «успешных» исходов (попаданий), $k=4$.
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность попадания), $p = 80\% = 0.8$.
• $q$ — вероятность «неудачи» (промаха), которая вычисляется как $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Вычислим число сочетаний $C_5^4$:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 5$

Это означает, что существует 5 различных последовательностей выстрелов, в которых будет ровно 4 попадания и 1 промах (например, ППППМ, ПППМП, и так далее).

2. Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1$

3. Произведем вычисления:

Сначала возводим вероятности в нужные степени:

$(0.8)^4 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.4096$

$(0.2)^1 = 0.2$

Теперь перемножаем все полученные значения:

$P_5(4) = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 2.048 \cdot 0.2 = 0.4096$

Ответ: 0,4096

136. Из чисел 1 и 2 игрок наугад выбирает одно. Затем он бросает игральный кубик один раз, если выбрано число 1, и два раза, если выбрано число 2. Какова вероятность того, что на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Весь процесс можно разделить на два этапа: выбор числа и бросок кубика. Искомое событие — «на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка».

Введём следующие события:

• $H_1$ — событие, состоящее в том, что игрок выбрал число 1.
• $H_2$ — событие, состоящее в том, что игрок выбрал число 2.
• $A$ — событие, состоящее в том, что на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка.

По условию, выбор числа 1 или 2 равновероятен, поэтому вероятности этих гипотез равны:

$P(H_1) = \frac{1}{2}$

$P(H_2) = \frac{1}{2}$

Теперь найдём условные вероятности события $A$ при каждой из гипотез.

1. Если выбрано число 1 (гипотеза $H_1$)

Игрок бросает кубик один раз. Вероятность выпадения шестёрки при одном броске стандартного шестигранного кубика равна $1/6$.

Следовательно, условная вероятность события $A$ при гипотезе $H_1$ равна:

$P(A|H_1) = \frac{1}{6}$

2. Если выбрано число 2 (гипотеза $H_2$)

Игрок бросает кубик два раза. Найдём вероятность того, что выпадет хотя бы одна шестёрка. Проще вычислить вероятность противоположного события $ \bar{A} $ — «ни разу не выпала шестёрка».

Вероятность того, что при одном броске не выпадет шестёрка, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку броски независимы, вероятность того, что шестёрка не выпадет ни в первом, ни во втором броске, равна произведению вероятностей:

$P(\bar{A}|H_2) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

Тогда вероятность того, что выпадет хотя бы одна шестёрка (событие $A$), равна:

$P(A|H_2) = 1 - P(\bar{A}|H_2) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

3. Вычисление полной вероятности

Теперь мы можем найти полную вероятность события $A$ по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)$

Подставим найденные значения:

$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} = \frac{1}{12} + \frac{11}{72}$

Приведём дроби к общему знаменателю 72:

$\frac{1}{12} = \frac{1 \times 6}{12 \times 6} = \frac{6}{72}$

Теперь сложим дроби:

$P(A) = \frac{6}{72} + \frac{11}{72} = \frac{17}{72}$

Ответ: $\frac{17}{72}$

137. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых многочлены $5x^2 - 8xy - 3y^2$ и $-4x^2 + 8xy + 5y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие значения x и y, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения. Это означает, что одновременно должны выполняться два неравенства:

1) $5x^2 - 8xy - 3y^2 < 0$

2) $-4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0$

Если два выражения отрицательны, то их сумма также должна быть отрицательной. Сложим левые части этих двух неравенств:

$(5x^2 - 8xy - 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2) < 0$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части полученного неравенства:

$5x^2 - 4x^2 - 8xy + 8xy - 3y^2 + 5y^2 < 0$

$x^2 + 2y^2 < 0$

Итак, из нашего первоначального предположения следует, что выражение $x^2 + 2y^2$ должно быть строго отрицательным.

Однако рассмотрим свойства этого выражения. Для любых действительных чисел x и y:

• $x^2$ является квадратом числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.
• Аналогично, $y^2 \ge 0$, а значит и $2y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^2$ и $2y^2$) также всегда является неотрицательной величиной:

$x^2 + 2y^2 \ge 0$

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, из нашего предположения следует, что $x^2 + 2y^2 < 0$, а с другой стороны, по определению, $x^2 + 2y^2 \ge 0$. Одно и то же выражение не может быть одновременно и отрицательным, и неотрицательным.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Не существует таких значений x и y, при которых многочлены $5x^2 - 8xy - 3y^2$ и $-4x^2 + 8xy + 5y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

138. Расставьте скобки так, чтобы было тождеством равенство:

1) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 4 = 5;$

2) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 4 = -5;$

3) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 4 = 3.$

1) Чтобы в левой части равенства получилось 5, необходимо расставить скобки таким образом, чтобы свободные члены 1 и -4 в результате преобразования дали 5. Это возможно, если 1 останется с тем же знаком, а -4 поменяет знак на противоположный: $1 - (-4) = 1 + 4 = 5$.

Для того чтобы изменить знак у числа -4, а также у других членов, следующих за ним, нужно поставить скобки перед $x^2$.

Исходное выражение: $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 4 = 5$

Поставим скобки: $x^2 - 3x + 1 - (x^2 - 3x - 4) = 5$

Теперь раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x + 4 = 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (1 + 4) = 5$

$0 + 0 + 5 = 5$

$5 = 5$

Полученное равенство является тождеством, так как оно верно при любых значениях $x$.

Ответ: $x^2 - 3x + 1 - (x^2 - 3x - 4) = 5$.

2) Чтобы в левой части равенства получилось -5, свободные члены 1 и -4 должны дать в сумме -5. Это возможно, если изменить знак у 1, а -4 оставить без изменений: $-1 - 4 = -5$.

Чтобы изменить знак у +1, нужно заключить его в скобки, перед которыми стоит знак минус. В исходном выражении это можно сделать, сгруппировав члены `-3x + 1` как `-(3x - 1)`. Однако, чтобы при этом переменные $x$ и $x^2$ сократились, необходимо применить более сложную группировку.

Рассмотрим следующую расстановку скобок: $x^2 - (3x - 1 + x^2) - 3x - 4 = -5$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 4 = -5$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x - 3x) + (1 - 4) = -5$

$0 - 6x - 3 = -5$

$-6x - 3 = -5$

Это равенство не является тождеством, так как зависит от $x$.

По всей видимости, в условии задачи допущена опечатка, так как стандартными способами расстановки скобок невозможно получить тождество. Если предположить, что в выражении можно менять порядок слагаемых перед группировкой (`-3x + 1` на `1 - 3x`), то возможно следующее решение:

$x^2 - (1 - 3x) - x^2 - 3x - 4 = -5$

$x^2 - 1 + 3x - x^2 - 3x - 4 = -5$

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-1 - 4) = -5$

$-5 = -5$

Такая перестановка `(-3x + 1)` в `-(1 - 3x)` не является тождественным преобразованием, но приводит к верному ответу.

Ответ: $x^2 - (1 - 3x) - x^2 - 3x - 4 = -5$.

3) Чтобы в левой части равенства получилось 3, свободные члены 1 и -4 должны дать в сумме 3. Это возможно, если изменить знак у обоих: $-1 + 4 = 3$.

Это требует, чтобы и `+1`, и `-4` попали в скобки со знаком минус перед ними.

Рассмотрим расстановку скобок, которая приводит к постоянному значению:

$x^2 - 3x + 1 - (x^2 - 3x) - 4 = 3$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 4 = 3$

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (1 - 4) = 3$

$0 + 0 - 3 = 3$

$-3 = 3$

Это равенство ложно. Полученный результат `-3` не соответствует требуемому `3`. Как и в предыдущем пункте, вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и должно было быть `-3`. Если бы справа стояло `-3`, то данная расстановка скобок была бы верным решением. Для получения `3` стандартными методами решения не находится.

Ответ: В рамках стандартных правил алгебры получить тождество со значением 3 путем расстановки скобок в данном выражении не представляется возможным. Вероятна опечатка в условии (должно быть -3). Для -3 решение было бы: $x^2 - 3x + 1 - (x^2 - 3x) - 4 = -3$.

139. Замените звёздочки одночленами так, чтобы образовалось тождество:

1) $(x+3)(*+5) = 4x^2 + * + *;$

2) $(x-3)(x+*) = * + * - 18.$

1)

Рассмотрим тождество $(x + 3)(* + 5) = 4x^2 + * + *$.

Обозначим первый неизвестный одночлен в левой части (в скобках) как $A$. Тогда левая часть примет вид $(x+3)(A+5)$.

Раскроем скобки в левой части выражения, используя дистрибутивное свойство:

$(x+3)(A+5) = x \cdot A + x \cdot 5 + 3 \cdot A + 3 \cdot 5 = xA + 5x + 3A + 15$.

Правая часть тождества, $4x^2 + * + *$, является многочленом. Самый старший член этого многочлена — $4x^2$. В левой части член с $x^2$ может получиться только в результате умножения $x$ из первой скобки на одночлен $A$ из второй скобки (если $A$ содержит $x$).

Приравняем члены с наивысшей степенью $x$ из обеих частей:

$xA = 4x^2$

Чтобы найти $A$, разделим обе части этого равенства на $x$:

$A = \frac{4x^2}{x} = 4x$.

Итак, первая звёздочка — это одночлен $4x$.

Теперь подставим найденный одночлен в исходное выражение и раскроем скобки в левой части:

$(x+3)(4x+5) = x \cdot 4x + x \cdot 5 + 3 \cdot 4x + 3 \cdot 5 = 4x^2 + 5x + 12x + 15$.

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$4x^2 + (5x + 12x) + 15 = 4x^2 + 17x + 15$.

Теперь мы можем сравнить это выражение с правой частью исходного тождества $4x^2 + * + *$. Отсюда видно, что две оставшиеся звёздочки нужно заменить одночленами $17x$ и $15$.

Ответ: $(x+3)(4x+5) = 4x^2+17x+15$.

2)

Рассмотрим тождество $(x - 3)(x + *) = * + * - 18$.

Обозначим неизвестный одночлен в левой части (в скобках) как $A$. Тогда левая часть примет вид $(x-3)(x+A)$.

Раскроем скобки в левой части:

$(x-3)(x+A) = x \cdot x + x \cdot A - 3 \cdot x - 3 \cdot A = x^2 + Ax - 3x - 3A$.

Сгруппируем подобные члены: $x^2 + (A-3)x - 3A$.

Теперь сравним левую и правую части тождества: $x^2 + (A-3)x - 3A = * + * - 18$.

Свободный член (не содержащий $x$) в правой части равен $-18$. В левой части свободный член равен $-3A$. Для того чтобы равенство было тождеством, свободные члены в обеих частях должны быть равны.

$-3A = -18$

Разделим обе части на $-3$, чтобы найти $A$:

$A = \frac{-18}{-3} = 6$.

Таким образом, звёздочка в скобках — это число $6$.

Подставим это значение в левую часть и выполним умножение:

$(x-3)(x+6) = x \cdot x + x \cdot 6 - 3 \cdot x - 3 \cdot 6 = x^2 + 6x - 3x - 18$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (6x - 3x) - 18 = x^2 + 3x - 18$.

Сравнивая полученный результат $x^2 + 3x - 18$ с правой частью исходного тождества $* + * - 18$, мы заключаем, что две звёздочки в правой части соответствуют одночленам $x^2$ и $3x$.

Ответ: $(x-3)(x+6) = x^2+3x-18$.

140. При некотором значении y значение выражения $y^2 - 4y + 2$ равно 5. Найдите при этом значении y значение выражения $3y^2 - 12y + 10$.

По условию задачи, для некоторого значения $y$ выражение $y^2 - 4y + 2$ равно 5. Запишем это в виде уравнения:

$y^2 - 4y + 2 = 5$

Наша задача — найти значение выражения $3y^2 - 12y + 10$ при этом же значении $y$. Нет необходимости находить само значение $y$. Вместо этого, преобразуем оба выражения.

Из первого уравнения выразим часть, которая похожа на часть второго выражения. Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$y^2 - 4y = 5 - 2$

$y^2 - 4y = 3$

Теперь посмотрим на второе выражение: $3y^2 - 12y + 10$.

Заметим, что в слагаемых $3y^2$ и $-12y$ можно вынести общий множитель 3 за скобку:

$3y^2 - 12y + 10 = 3(y^2 - 4y) + 10$

Мы уже определили из первого условия, что выражение в скобках, $y^2 - 4y$, равно 3. Подставим это значение в преобразованное второе выражение:

$3 \cdot (3) + 10$

Выполним вычисления:

$9 + 10 = 19$

Таким образом, значение искомого выражения равно 19.

Ответ: 19

141. При некоторых значениях $a$ и $b$ выполняются равенства $a + b = 8$, $ab = 3$. Найдите значение выражения $a^2 + b^2$ при этих же значениях $a$ и $b$.

Чтобы найти значение выражения $a^2 + b^2$, воспользуемся известной формулой сокращенного умножения для квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Из этой формулы выразим искомую сумму квадратов $a^2 + b^2$:

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

По условию задачи нам даны значения $a + b = 8$ и $ab = 3$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$a^2 + b^2 = (8)^2 - 2 \cdot 3$

Теперь выполним вычисления:

$a^2 + b^2 = 64 - 6$

$a^2 + b^2 = 58$

Ответ: 58