Страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

71. Задайте перечислением элементов множество:

1) правильных дробей со знаменателем 6;

2) цифр числа 2 341 432.

1)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, при этом числитель и знаменатель являются натуральными числами. В данном задании знаменатель равен 6.

Числитель, обозначим его $n$, должен быть натуральным числом и удовлетворять неравенству $n < 6$.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, множество правильных дробей со знаменателем 6 состоит из следующих дробей: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$.

Ответ: $\{ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6} \}$.

2)

Множество состоит из уникальных элементов. Чтобы задать множество цифр числа 2 341 432, необходимо перечислить все различные цифры, которые используются в записи этого числа.

Число 2 341 432 записано с помощью следующих цифр: 2, 3, 4, 1, 4, 3, 2.

Выберем из них уникальные. Это цифры 1, 2, 3 и 4. Принято записывать элементы такого множества в порядке возрастания.

Следовательно, искомое множество цифр:

Ответ: $\{1, 2, 3, 4\}$.

72. Верно ли равенство:

1) $A \cup \emptyset = A$;

2) $A \cap \emptyset = A$;

3) $A \cup \emptyset = \emptyset$;

4) $A \cap \emptyset = \emptyset$?

1) $A \cup \varnothing = A$

Объединение множества $A$ и пустого множества $\varnothing$ (обозначается $A \cup \varnothing$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$ или пустому множеству $\varnothing$. Поскольку в пустом множестве нет элементов, в результат войдут только элементы из множества $A$. Таким образом, равенство $A \cup \varnothing = A$ является тождеством и верно для любого множества $A$.

Ответ: верно.

2) $A \cap \varnothing = A$

Пересечение множества $A$ и пустого множества $\varnothing$ (обозначается $A \cap \varnothing$) — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и пустому множеству. Так как в пустом множестве нет элементов, то не существует и общих элементов. Следовательно, пересечение $A \cap \varnothing$ всегда равно пустому множеству $\varnothing$. Равенство $A \cap \varnothing = A$ будет верным только в частном случае, когда само множество $A$ является пустым ($A = \varnothing$). В общем случае оно неверно.

Ответ: неверно (верно только при $A = \varnothing$).

3) $A \cup \varnothing = \varnothing$

Как было показано в пункте 1, объединение множества $A$ с пустым множеством всегда равно самому множеству $A$, то есть $A \cup \varnothing = A$. Равенство $A \cup \varnothing = \varnothing$ будет верным только в том случае, если $A = \varnothing$. В общем случае, если множество $A$ не пустое, данное равенство неверно.

Ответ: неверно (верно только при $A = \varnothing$).

4) $A \cap \varnothing = \varnothing$

Пересечение множества $A$ с пустым множеством $\varnothing$ — это множество, которое включает в себя все элементы, общие для $A$ и $\varnothing$. Поскольку у пустого множества нет элементов, не может быть и общих элементов. Следовательно, результатом пересечения всегда является пустое множество. Равенство $A \cap \varnothing = \varnothing$ является тождеством и верно для любого множества $A$.

Ответ: верно.

73. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ — множество делителей числа 36, $B$ — множество чисел, кратных числу 6;

2) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество составных чисел;

3) $A$ — множество чётных чисел, $B$ — множество простых чисел;

4) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество чисел, кратных числу 10;

5) $A$ — множество простых чисел, $B$ — множество составных чисел.

1) A — множество делителей числа 36, B — множество чисел, кратных числу 6;

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$ одновременно.

Сначала найдем все элементы множества $A$. Множество $A$ состоит из всех натуральных делителей числа 36.

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

Множество $B$ состоит из чисел, кратных 6.

$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, \dots\}$

Теперь найдем общие элементы этих двух множеств. Для этого проверим, какие из делителей числа 36 (элементы множества $A$) делятся на 6 без остатка.

• 1 не кратно 6.
• 2 не кратно 6.
• 3 не кратно 6.
• 4 не кратно 6.
• 6 кратно 6 ($6 = 6 \cdot 1$).
• 9 не кратно 6.
• 12 кратно 6 ($12 = 6 \cdot 2$).
• 18 кратно 6 ($18 = 6 \cdot 3$).
• 36 кратно 6 ($36 = 6 \cdot 6$).

Таким образом, пересечение множеств $A$ и $B$ содержит числа, которые являются одновременно и делителями 36, и кратными 6.

$A \cap B = \{6, 12, 18, 36\}$

Ответ: $\{6, 12, 18, 36\}$.

2) A — множество однозначных чисел, B — множество составных чисел;

Множество $A$ — это множество натуральных однозначных чисел.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Множество $B$ — это множество составных чисел. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (т.е. имеет делители, отличные от 1 и самого себя).

$B = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}$

Найдем пересечение $A \cap B$, то есть выберем из множества $A$ те числа, которые являются составными.

• 1 — не является ни простым, ни составным.
• 2 — простое число.
• 3 — простое число.
• 4 — составное число ($4 = 2 \cdot 2$).
• 5 — простое число.
• 6 — составное число ($6 = 2 \cdot 3$).
• 7 — простое число.
• 8 — составное число ($8 = 2 \cdot 4$).
• 9 — составное число ($9 = 3 \cdot 3$).

Следовательно, пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество однозначных составных чисел.

$A \cap B = \{4, 6, 8, 9\}$

Ответ: $\{4, 6, 8, 9\}$.

3) A — множество чётных чисел, B — множество простых чисел;

Множество $A$ — это множество чётных чисел. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. В контексте простых чисел, мы рассматриваем натуральные чётные числа.

$A = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$

Множество $B$ — это множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

$B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\}$

Пересечение $A \cap B$ будет содержать числа, которые являются одновременно и чётными, и простыми.

Единственное чётное простое число — это 2. Любое другое чётное число больше 2 будет делиться не только на 1 и на себя, но и на 2, а значит, будет составным.

$A \cap B = \{2\}$

Ответ: $\{2\}$.

4) A — множество однозначных чисел, B — множество чисел, кратных числу 10;

Множество $A$ — это множество натуральных однозначных чисел.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Множество $B$ — это множество натуральных чисел, кратных 10.

$B = \{10, 20, 30, 40, \dots\}$

Пересечение $A \cap B$ — это множество чисел, которые являются одновременно однозначными и кратными 10.

Самое маленькое натуральное число, кратное 10, это само число 10. Число 10 является двузначным. Все остальные числа, кратные 10, также не являются однозначными. Таким образом, в множествах $A$ и $B$ нет общих элементов.

Пересечение этих множеств является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

$A \cap B = \emptyset$

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

5) A — множество простых чисел, B — множество составных чисел.

Множество $A$ — это множество простых чисел.

$A = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$

Множество $B$ — это множество составных чисел.

$B = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}$

По определению, множество натуральных чисел (за исключением 1) разделяется на два непересекающихся подмножества: простые числа и составные числа. Это означает, что ни одно число не может быть одновременно и простым, и составным.

Следовательно, у множеств $A$ и $B$ нет общих элементов, и их пересечение является пустым множеством.

$A \cap B = \emptyset$

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

74. Найдите объединение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ – множество цифр числа 6694, $B$ – множество цифр числа 41 686;

2) $A$ – множество делителей числа 15, $B$ – множество делителей числа 20.

1)

Для того чтобы найти объединение множеств $A$ и $B$, сначала определим элементы каждого множества.
Множество $A$ — это множество цифр числа 6694. В множестве элементы не повторяются, поэтому мы берем каждую уникальную цифру. Цифры в числе 6694: 6, 9, 4.
Таким образом, $A = \{4, 6, 9\}$.
Множество $B$ — это множество цифр числа 41 686. Уникальные цифры в этом числе: 4, 1, 6, 8.
Таким образом, $B = \{1, 4, 6, 8\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств. Для нахождения объединения мы собираем все уникальные элементы из $A$ и $B$.
$A \cup B = \{4, 6, 9\} \cup \{1, 4, 6, 8\} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$.
В объединение вошли все цифры из обоих множеств: 1, 4, 6, 8, 9.

Ответ: $A \cup B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$.

2)

Сначала определим элементы множеств $A$ и $B$.
Множество $A$ — это множество делителей числа 15. Делители — это натуральные числа, на которые 15 делится без остатка.
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Следовательно, $A = \{1, 3, 5, 15\}$.
Множество $B$ — это множество делителей числа 20.
Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Следовательно, $B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.

Теперь найдем объединение множеств $A \cup B$. Оно будет содержать все уникальные делители из обоих множеств.
$A \cup B = \{1, 3, 5, 15\} \cup \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.
Собираем все элементы из $A$ и $B$ в одно множество, исключая повторения (в данном случае повторяется только число 5):
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20\}$.

Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20\}$.

75. В классе 30 учащихся. Из них 20 учащихся занимаются в спортивных секциях, а 16 учащихся поют в школьном хоре. Сколько спортсменов поют в хоре?

Для решения этой задачи используется принцип включения-исключения. Он помогает найти количество элементов в пересечении двух множеств.

Обозначим данные из условия:
- Общее количество учащихся в классе: $30$ человек.
- Количество учащихся, занимающихся в спортивных секциях (спортсмены): $20$ человек.
- Количество учащихся, поющих в школьном хоре (хористы): $16$ человек.

Мы ищем количество учащихся, которые занимаются и спортом, и поют в хоре одновременно.

Если мы просто сложим количество спортсменов и количество хористов, мы получим:
$20 + 16 = 36$

Эта сумма ($36$) больше, чем общее количество учащихся в классе ($30$). Это произошло потому, что те ученики, которые занимаются и в спортивных секциях, и поют в хоре, были посчитаны дважды: один раз в группе спортсменов и второй раз в группе хористов.

Чтобы найти количество учеников, которые входят в обе группы, нужно из полученной суммы вычесть общее количество учащихся в классе. Эта разница и будет искомым числом. Данный метод предполагает, что каждый ученик в классе занимается хотя бы одним из этих видов деятельности, что является стандартным допущением для таких задач.

Количество спортсменов, поющих в хоре = (Количество спортсменов + Количество хористов) - Общее количество учащихся

Выполним вычисление:
$(20 + 16) - 30 = 36 - 30 = 6$

Таким образом, 6 учеников занимаются и спортом, и поют в хоре.

Ответ: 6.

76. У мальчика есть некоторая сумма денег, за которую он может приобрести $18$ одинаковых тетрадей. Сколько тетрадей он сможет приобрести за эту же сумму денег, если они:

1) подешевеют в $2$ раза;

2) подорожают в $1,5$ раза?

Пусть $S$ — это общая сумма денег, которая есть у мальчика, $P$ — начальная цена одной тетради, а $N$ — количество тетрадей, которое он может купить.

По условию, мальчик может купить 18 тетрадей. Это значит, что общая сумма денег равна произведению цены одной тетради на их количество:

$S = P \times N = P \times 18$

Эта сумма денег ($S$) остаётся постоянной. Количество тетрадей и их цена являются обратно пропорциональными величинами: чем выше цена, тем меньше тетрадей можно купить на ту же сумму, и наоборот.

1) подешевеют в 2 раза

Если цена тетрадей уменьшится в 2 раза, то новая цена $P_1$ составит половину от первоначальной цены $P$:

$P_1 = P / 2$

Пусть $N_1$ — это новое количество тетрадей, которое можно купить. Так как общая сумма денег не изменилась, можно записать:

$S = P_1 \times N_1$

Приравняем два выражения для $S$:

$P \times 18 = P_1 \times N_1$

Подставим выражение для $P_1$ в уравнение:

$P \times 18 = (P / 2) \times N_1$

Разделив обе части уравнения на $P$ (цена не может быть равна нулю), получим:

$18 = N_1 / 2$

Отсюда находим $N_1$:

$N_1 = 18 \times 2 = 36$

Ответ: 36 тетрадей.

2) подорожают в 1,5 раза

Если цена тетрадей увеличится в 1,5 раза, то новая цена $P_2$ будет равна:

$P_2 = P \times 1,5$

Пусть $N_2$ — это новое количество тетрадей. Запишем равенство для той же суммы денег $S$:

$S = P_2 \times N_2$

Приравняем выражения для $S$:

$P \times 18 = P_2 \times N_2$

Подставим выражение для $P_2$:

$P \times 18 = (P \times 1,5) \times N_2$

Разделим обе части на $P$:

$18 = 1,5 \times N_2$

Отсюда находим $N_2$:

$N_2 = 18 / 1,5 = 18 / (3/2) = 18 \times 2/3 = 12$

Ответ: 12 тетрадей.

77. Из 12 м батиста сшили 8 одинаковых блузок. Сколько таких блузок можно сшить из 18 м батиста?

Для решения этой задачи можно пойти двумя путями: через нахождение расхода ткани на одну единицу изделия или через составление пропорции.

Способ 1: Нахождение расхода на одну блузку

1. Сначала определим, сколько метров батиста уходит на пошив одной блузки. По условию, из 12 метров ткани сшили 8 блузок. Чтобы найти расход на одну блузку, разделим общее количество ткани на количество блузок:

$12 \text{ м} \div 8 \text{ блузок} = 1,5 \text{ м/блузку}$

Итак, на одну блузку требуется 1,5 метра батиста.

2. Теперь, зная расход ткани, мы можем вычислить, сколько таких же блузок можно сшить из 18 метров батиста. Для этого разделим новое количество ткани на расход на одну блузку:

$18 \text{ м} \div 1,5 \text{ м/блузку} = 12 \text{ блузок}$

Способ 2: Решение через пропорцию

Этот метод позволяет найти ответ быстрее. Составим пропорцию, где $x$ – это искомое количество блузок.

12 метров ткани соответствует 8 блузкам.

18 метров ткани соответствует $x$ блузкам.

Запишем это в виде математической пропорции:

$\frac{12}{8} = \frac{18}{x}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$12 \cdot x = 8 \cdot 18$

$12x = 144$

Теперь найдем $x$, разделив 144 на 12:

$x = \frac{144}{12}$

$x = 12$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: из 18 м батиста можно сшить 12 таких блузок.

78. На двух книжных полках стояло поровну книг. Потом треть книг с первой полки переставили на вторую. Во сколько раз на второй полке стало больше книг, чем на первой?

Пусть первоначально на каждой полке было по $x$ книг.

Количество книг на первой полке: $x$.
Количество книг на второй полке: $x$.

С первой полки взяли треть книг, то есть $\frac{1}{3}x$ книг.

После этого на первой полке осталось:
$x - \frac{1}{3}x = \frac{3x - x}{3} = \frac{2}{3}x$ книг.

Эти книги ($\frac{1}{3}x$) переставили на вторую полку. На второй полке стало:
$x + \frac{1}{3}x = \frac{3x + x}{3} = \frac{4}{3}x$ книг.

Чтобы найти, во сколько раз на второй полке стало больше книг, чем на первой, разделим количество книг на второй полке на количество книг на первой:
$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{2}{3}x} = \frac{4x}{3} \cdot \frac{3}{2x} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: на второй полке стало в 2 раза больше книг, чем на первой.

79. Шесть одинаковых экскаваторов, работая вместе, вырыли котлован за 18 ч. За сколько часов 4 таких экскаватора, работая вместе, выроют 2 таких котлована?

Для решения этой задачи определим общий объем работы, необходимый для выкапывания одного котлована, а затем рассчитаем время для новых условий.

1. Сначала найдем, какой объем работы в "экскаваторо-часах" требуется для того, чтобы вырыть один котлован. Если 6 экскаваторов работают 18 часов, то общий объем работы составляет:

$6 \text{ экскаваторов} \times 18 \text{ ч} = 108$ экскаваторо-часов.

Это значит, что для выкапывания одного котлована требуется работа, эквивалентная работе одного экскаватора в течение 108 часов.

2. Теперь нам нужно выяснить, за сколько часов 4 экскаватора выроют 2 таких котлована. Сначала найдем, сколько времени потребуется 4 экскаваторам, чтобы вырыть один котлован. Для этого разделим общий объем работы на количество экскаваторов:

$\frac{108 \text{ экскаваторо-часов}}{4 \text{ экскаватора}} = 27$ часов.

Итак, 4 экскаватора выроют один котлован за 27 часов.

3. В задаче требуется вырыть 2 таких котлована. Поскольку объем работы увеличился вдвое, то и времени потребуется вдвое больше:

$27 \text{ часов/котлован} \times 2 \text{ котлована} = 54$ часа.

Ответ: 54 часа.

80. Известно, что из 50 кг муки получают 70 кг хлеба. Сколько хлеба получают из 150 кг муки? Сколько требуется муки, чтобы испечь 14 кг хлеба?

Эта задача решается с помощью пропорций. В ней два вопроса, решим каждый по очереди.

Сколько хлеба получают из 150 кг муки?

По условию, из 50 кг муки получают 70 кг хлеба. Нам нужно узнать, сколько хлеба получится из 150 кг муки.
Сначала найдем, во сколько раз увеличилось количество муки. Для этого разделим 150 кг на 50 кг:
$150 / 50 = 3$
Количество муки увеличилось в 3 раза.
Поскольку количество хлеба прямо пропорционально количеству муки, то и хлеба получится в 3 раза больше.
Умножим исходное количество хлеба на 3:
$70 \text{ кг} * 3 = 210 \text{ кг}$
Таким образом, из 150 кг муки получат 210 кг хлеба.

Ответ: из 150 кг муки получат 210 кг хлеба.

Сколько требуется муки, чтобы испечь 14 кг хлеба?

Теперь нам нужно найти, сколько муки потребуется для выпечки 14 кг хлеба, зная, что для 70 кг хлеба нужно 50 кг муки.
Сначала найдем, во сколько раз уменьшилось требуемое количество хлеба. Для этого разделим 70 кг на 14 кг:
$70 / 14 = 5$
Требуемое количество хлеба уменьшилось в 5 раз.
Следовательно, и количество муки, необходимое для выпечки, также уменьшится в 5 раз.
Разделим исходное количество муки на 5:
$50 \text{ кг} / 5 = 10 \text{ кг}$
Таким образом, для выпечки 14 кг хлеба потребуется 10 кг муки.

Ответ: чтобы испечь 14 кг хлеба, требуется 10 кг муки.