Номер 73, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Множества. Операции над миножествами - номер 73, страница 216.

Учебник.

73. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ — множество делителей числа 36, $B$ — множество чисел, кратных числу 6;

2) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество составных чисел;

3) $A$ — множество чётных чисел, $B$ — множество простых чисел;

4) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество чисел, кратных числу 10;

5) $A$ — множество простых чисел, $B$ — множество составных чисел.

Решение 2.

1) A — множество делителей числа 36, B — множество чисел, кратных числу 6;

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$ одновременно.

Сначала найдем все элементы множества $A$. Множество $A$ состоит из всех натуральных делителей числа 36.

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

Множество $B$ состоит из чисел, кратных 6.

$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, \dots\}$

Теперь найдем общие элементы этих двух множеств. Для этого проверим, какие из делителей числа 36 (элементы множества $A$) делятся на 6 без остатка.

• 1 не кратно 6.
• 2 не кратно 6.
• 3 не кратно 6.
• 4 не кратно 6.
• 6 кратно 6 ($6 = 6 \cdot 1$).
• 9 не кратно 6.
• 12 кратно 6 ($12 = 6 \cdot 2$).
• 18 кратно 6 ($18 = 6 \cdot 3$).
• 36 кратно 6 ($36 = 6 \cdot 6$).

Таким образом, пересечение множеств $A$ и $B$ содержит числа, которые являются одновременно и делителями 36, и кратными 6.

$A \cap B = \{6, 12, 18, 36\}$

Ответ: $\{6, 12, 18, 36\}$.

2) A — множество однозначных чисел, B — множество составных чисел;

Множество $A$ — это множество натуральных однозначных чисел.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Множество $B$ — это множество составных чисел. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (т.е. имеет делители, отличные от 1 и самого себя).

$B = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}$

Найдем пересечение $A \cap B$, то есть выберем из множества $A$ те числа, которые являются составными.

• 1 — не является ни простым, ни составным.
• 2 — простое число.
• 3 — простое число.
• 4 — составное число ($4 = 2 \cdot 2$).
• 5 — простое число.
• 6 — составное число ($6 = 2 \cdot 3$).
• 7 — простое число.
• 8 — составное число ($8 = 2 \cdot 4$).
• 9 — составное число ($9 = 3 \cdot 3$).

Следовательно, пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество однозначных составных чисел.

$A \cap B = \{4, 6, 8, 9\}$

Ответ: $\{4, 6, 8, 9\}$.

3) A — множество чётных чисел, B — множество простых чисел;

Множество $A$ — это множество чётных чисел. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. В контексте простых чисел, мы рассматриваем натуральные чётные числа.

$A = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$

Множество $B$ — это множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

$B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\}$

Пересечение $A \cap B$ будет содержать числа, которые являются одновременно и чётными, и простыми.

Единственное чётное простое число — это 2. Любое другое чётное число больше 2 будет делиться не только на 1 и на себя, но и на 2, а значит, будет составным.

$A \cap B = \{2\}$

Ответ: $\{2\}$.

4) A — множество однозначных чисел, B — множество чисел, кратных числу 10;

Множество $A$ — это множество натуральных однозначных чисел.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Множество $B$ — это множество натуральных чисел, кратных 10.

$B = \{10, 20, 30, 40, \dots\}$

Пересечение $A \cap B$ — это множество чисел, которые являются одновременно однозначными и кратными 10.

Самое маленькое натуральное число, кратное 10, это само число 10. Число 10 является двузначным. Все остальные числа, кратные 10, также не являются однозначными. Таким образом, в множествах $A$ и $B$ нет общих элементов.

Пересечение этих множеств является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

$A \cap B = \emptyset$

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

5) A — множество простых чисел, B — множество составных чисел.

Множество $A$ — это множество простых чисел.

$A = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$

Множество $B$ — это множество составных чисел.

$B = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}$

По определению, множество натуральных чисел (за исключением 1) разделяется на два непересекающихся подмножества: простые числа и составные числа. Это означает, что ни одно число не может быть одновременно и простым, и составным.

Следовательно, у множеств $A$ и $B$ нет общих элементов, и их пересечение является пустым множеством.

$A \cap B = \emptyset$

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).