Номер 67, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Множества. Операции над миножествами. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 67, страница 215.

67. Верно ли утверждение:

1) $1 \in N$;

2) $1 \in Z$;

3) $1 \in Q$;

4) $1 \in R$;

5) $0 \in N$;

6) $0 \notin Z$;

7) $0 \in R$;

8) $-3,2 \in N$;

9) $-3,2 \in R$;

10) $-\frac{5}{9} \in Q$;

11) $-\frac{5}{9} \notin R$;

12) $\sqrt{9} \in Q$;

13) $\sqrt{5} \in Q$;

14) $\sqrt{5} \in R$;

15) $\frac{\pi}{2} \in Q$;

16) $\frac{\pi}{2} \in R$;

Для решения данной задачи необходимо определить принадлежность указанных чисел к различным числовым множествам:
$N$ — множество натуральных чисел (целые положительные числа: $1, 2, 3, \ldots$);
$Z$ — множество целых чисел ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$);
$Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z, q \in N$);
$R$ — множество действительных чисел (включает все рациональные и иррациональные числа).

1) $1 \in N$
Число 1 используется при счете предметов и является первым натуральным числом. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) $1 \in Z$
Множество целых чисел включает все натуральные числа, поэтому 1 является целым числом. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) $1 \in Q$
Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $1 = \frac{1}{1}$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

4) $1 \in R$
Множество действительных чисел включает все рациональные числа. Поскольку 1 — рациональное число, оно также является действительным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) $0 \in N$
В математике, изучаемой в школе, множество натуральных чисел начинается с 1. Ноль не является натуральным числом. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

6) $0 \notin Z$
Данное утверждение означает "0 не принадлежит множеству целых чисел". Это ложно, так как 0 по определению входит в множество целых чисел. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

7) $0 \in R$
Число 0 является целым, а значит и рациональным числом. Все рациональные числа являются действительными. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

8) $-3,2 \in N$
Натуральные числа — это целые положительные числа. Число $-3,2$ не является ни целым, ни положительным. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

9) $-3,2 \in R$
Число $-3,2$ является конечной десятичной дробью. Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом ($-3,2 = -\frac{32}{10}$), а все рациональные числа входят в множество действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

10) $-\frac{5}{9} \in Q$
Число $-\frac{5}{9}$ по определению является рациональным, так как представлено в виде дроби, где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

11) $-\frac{5}{9} \notin R$
Это утверждение означает, что $-\frac{5}{9}$ не является действительным числом. Это ложно, так как все рациональные числа являются действительными. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

12) $\sqrt{9} \in Q$
Поскольку $\sqrt{9} = 3$, а число 3 является целым и, следовательно, рациональным ($3 = \frac{3}{1}$), утверждение верно.
Ответ: Верно.

13) $\sqrt{5} \in Q$
Корень из 5 является иррациональным числом, так как его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичное представление бесконечно и непериодично. Следовательно, $\sqrt{5}$ не принадлежит множеству рациональных чисел. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

14) $\sqrt{5} \in R$
Множество действительных чисел включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Поскольку $\sqrt{5}$ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

15) $\frac{\pi}{2} \in Q$
Число $\pi$ является иррациональным. Результат деления иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае 2) также является иррациональным числом. Следовательно, $\frac{\pi}{2}$ не является рациональным. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

16) $\frac{\pi}{2} \in R$
Число $\frac{\pi}{2}$ является иррациональным, а все иррациональные числа входят в множество действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.