Номер 70, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Множества. Операции над миножествами. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 70, страница 215.

70. Верно ли утверждение:

1) любое целое число является рациональным;

2) любое натуральное число является целым;

3) любое натуральное число является рациональным;

4) любое рациональное число является целым;

5) любое действительное число является рациональным;

6) любое иррациональное число является действительным?

1) любое целое число является рациональным;
Данное утверждение верно. По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число (или, в более общем виде, ненулевое целое число). Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Например, число 7 можно записать как $7/1$, а число -23 — как $-23/1$. Поскольку числитель является целым числом, а знаменатель (1) — натуральным, то любое целое число является рациональным. Множество целых чисел ($Z$) является подмножеством множества рациональных чисел ($Q$).
Ответ: Да.

2) любое натуральное число является целым;
Данное утверждение верно. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ (числа, используемые при счете) является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, чисел, им противоположных, и нуля. Следовательно, каждое натуральное число по определению является целым.
Ответ: Да.

3) любое натуральное число является рациональным;
Данное утверждение верно. Это следует из двух предыдущих пунктов: каждое натуральное число является целым (пункт 2), а каждое целое число является рациональным (пункт 1). Таким образом, любое натуральное число является и рациональным. Также можно доказать напрямую: любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $k/1$, что полностью соответствует определению рационального числа.
Ответ: Да.

4) любое рациональное число является целым;
Данное утверждение неверно. Это обратное утверждение к пункту 1, и оно ложно. Рациональное число — это любая дробь $m/n$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное. Такое число будет целым только в том случае, если числитель $m$ делится на знаменатель $n$ без остатка. Однако существует бесконечно много рациональных чисел, которые не являются целыми. Например, число $1/2$ (или 0,5) является рациональным, но не является целым. Другие примеры: $3/4$, $-5/2$.
Ответ: Нет.

5) любое действительное число является рациональным;
Данное утверждение неверно. Множество действительных (или вещественных) чисел ($R$) состоит из объединения множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами таких чисел являются $\pi \approx 3,14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1,41421...$. Поскольку существуют действительные числа, которые не являются рациональными (а именно, все иррациональные числа), утверждение ложно.
Ответ: Нет.

6) любое иррациональное число является действительным?
Данное утверждение верно. По определению, множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Это означает, что иррациональные числа — это одна из двух составных частей множества действительных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению принадлежит множеству действительных чисел. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($I \subset R$).
Ответ: Да.